¿En qué topología, la curva elíptica es homeomorfa al toro?

Depende de lo que quieras decir con "toro", si te refieres a la variedad$S^1\times S^1$, la única elección posible es la topología euclidiana/analítica, porque las variedades son Hausdorff y la topología de Zariski no es Hausdorff excepto en conjuntos finitos. Sin embargo, hay otras formas de considerar el torii.

Si eso es lo que quiere decir, básicamente se habla de esto en todas partes; por ejemplo, aquí hay una descripción en wikipedia .

Pregunta: "A menudo escucho que la curva elíptica es homeomorfa al toro como topología. En este contexto, ¿qué topología estamos tratando? ¿Topología de Euclid en C y su topología de cociente? ¿O topología de Zariski? Gracias de antemano".

Respuesta: Hay una sección en Hartshorne (Sección IV.4) sobre curvas elípticas que trata las curvas elípticas sobre los números complejos$K$. Si$\Gamma \subseteq K$es una "red" (un subgrupo en la forma$\Gamma\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\tau$) con$\tau \notin \mathbb{R} \subseteq K$, puede definir el "cociente"$E(\Gamma):=K/\Gamma$. Cuando se define así, se sigue$E(\Gamma)$es un espacio topológico con un "mapa de cociente" continuo$p: K \rightarrow E(\Gamma)$. En HH.IV.4 prueban que$E(\Gamma)$se le puede dar la estructura de una variedad algebraica sobre$K$. Esta variedad algebraica tiene una incrustación$E(\Gamma)\cong V(F) \subseteq \mathbb{P}^2_K$, dónde$F(x,y,z) \in K[x,y,z]$es un polinomio explícito en$x, y$y$z$- construyen en HH un polinomio de 2 variables en$x,y$.

Como espacio topológico (en la topología "fuerte" heredada de$K$) hay para cualquier celosía$\Gamma$un homeomorfismo

El teorema IV.4.15B demuestra que para diferentes opciones de$\tau,\tau'$obtienes celosías$\Gamma, \Gamma'$y curvas$E:=E(\Gamma), E':=E(\Gamma')$. las curvas$E,E'$son isomorfas como variedades algebraicas si hay números enteros$a,b,c,d$con$ad-bc \neq +1,-1$y

Siempre hay un homeomorfismo.$E(\Gamma)^{top} \cong E(\Gamma')^{top}$.

Pregunta: "¿Topología de Euclides en C y su topología de cociente? ¿O topología de Zariski?"

Respuesta: Las curvas$E(\Gamma), E(\Gamma')$son siempre "isomorfos" como espacios topológicos en la topología "fuerte". Son isomorfos como variedades algebraicas (equipados con la topología de Zariski) condición iff$E1$sostiene Además, si equipamos$E(\Gamma),E(\Gamma')$con la estructura de variedades proyectivas complejas para obtener variedades$E(\Gamma)_s, E(\Gamma')_s$, sigue$E(\Gamma)_s \cong E(\Gamma')_s$son isomorfos como variedades complejas (en la topología "fuerte") iff$E1$sostiene

Nota: Si

con$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$y$det(A) \neq 1,-1$obtienes un conjunto de matrices

y$M$no es un subgrupo de$G:=SL(2,\mathbb{Z})$. De ahí la relación en$E1$no es inducida por una acción de un subgrupo$H \subseteq G$. Todavía obtienes un "espacio de parámetros" de curvas elípticas, parametrizado por$\tau \in K-\mathbb{R}$, donde dos números complejos$\tau,\tau'$son equivalentes si$E1$tiene para algunos$A\in M$.