¿Por qué es difícil extender Feynman Checkerboard a más de 1+1 dimensiones?

Estimado mtrencseni, la misma página que citó tiene una respuesta en las siguientes oraciones:

Existen dos clases distintas de extensiones, las que funcionan con una red subyacente fija (19,20) y las que incrustan la caja bidimensional en una dimensión superior (21,22). La ventaja del primero es que la suma de las trayectorias está más cerca del caso no relativista; sin embargo, se pierde la imagen simple de una única velocidad de la luz direccionalmente independiente. En las últimas extensiones, la propiedad de velocidad fija se mantiene a expensas de direcciones variables en cada paso.

Claramente, no hay ninguna razón por la que deban existir curiosidades matemáticas similares en dimensiones superiores. Sin embargo, la gente trató de encontrar un contador de dimensiones superiores a lo largo de dos líneas diferentes en competencia. Ambos siguen siendo muy poco concluyentes, por decirlo muy generosamente.

La razón más obvia por la que el tablero de ajedrez de Feynman es difícil en dimensiones más altas es que la ecuación de Dirac tiene muchos componentes y los componentes individuales del espinor no pueden asociarse con ninguna propiedad discreta simple de una red, como la dirección en la que se mueve la partícula en el primer paso. El hecho de que la geometría de la dirección en una línea sea tan simple es la razón por la cual el tablero de ajedrez de Feynman en dimensiones 1+1, y solo en dimensiones 1+1, puede usarse como un dispositivo de contabilidad para los componentes de helicidad, etc.

Además, las redes de dimensiones superiores no incluyen líneas que se muevan "exactamente a la velocidad de la luz" (45 grados) en direcciones genéricas. Eso también es diferente de las dimensiones 1+1 donde las direcciones suroeste y sureste son las únicas dos direcciones similares a la luz. Este simple hecho hace que sea difícil obtener una teoría relativista a partir de una partícula que se mueve en una red.

Hay un artículo interesante sobre el tema, escrito en un nivel más bajo que algunos, en mi sitio web aquí .

Señala que hay problemas con la partícula en 3 dimensiones que aparentemente es superlumínica con una velocidad de al menos$\sqrt{3}\;c$.

En espacio-tiempo dimensional 1+1 puedes dividir el operador$d^{2}/dt^{2} - d^{2}/dx^{2}$de una forma muy sencilla en un producto:$(d/dt - d/dx)(d/dt + d/dx)$. Esto no es posible en dimensiones superiores.