¿Por qué se pueden suponer matrices αiαi\alpha^i y ββ\beta en la derivación de la Ecuación de Dirac?

Sobre la derivación de la Ecuación de Dirac se suele suponer que es posible escribir

mi = α ⋅ pag + β metro .

Entonces se deduce que para tener mi 2 = pag 2 + metro 2 Es necesario que:

1 2 ( α i α j + α j α i ) = d i j α i β + β α i = 0 β 2 = I ,

Después de eso se suele decir que "por eso α i y β deben ser matrices. Ahora, esto es realmente extraño, en mi humilde opinión, por las siguientes razones:

  1. Si α y β son matrices, mi es una matriz, pero sabemos que mi Tiene que ser un número.

  2. También si α i son matrices, α es un vector de matrices y no me queda claro que α ⋅ pag sería.

Realmente no entiendo este razonamiento. ¿Qué hay detrás de todo eso? ¿Por qué podemos suponer α i y β matrices cuando mi es un numero? ¿Cómo entender y obtener algo de intuición detrás de todo esto?

Muchas veces, los físicos son vagos y escriben mi como un número, cuando significan mi I , dónde I representa una matriz de identidad de la dimensión apropiada.
No es pereza, es solo una notación inteligente natural. Los objetos en ambos lados son operadores, y una multiplicación por mi 1 es lo mismo que la multiplicación por mi .

Respuestas (1)

1) El problema con esto es que tu primera ecuación debería ser

H = α ⋅ pag + β metro
con H el hamiltoniano en lugar de mi . Ahora, las energías son los valores propios de H , es decir, los valores propios de una matriz. Como los valores propios son solo números, todo funciona bien.
H matriz. mi el valor propio de  H , es decir, un número.

2) α ⋅ pag es una notación abreviada para α X pag X + α y pag y + α z pag z , es decir, la suma de tres matrices. El resultado es un 4 × 4 matriz, es decir, α ⋅ pag es una matriz.

¿Por qué se pueden suponer matrices αiαi\alpha^i y ββ\beta en la derivación de la Ecuación de Dirac?
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