¿Por qué el término ε2ε2\varepsilon^2 en una transformación infinitesimal es igual a cero?

Por otro lado, si desea mantener los términos para$\epsilon^2$, también debe incluirlos en su expansión, es decir$U\approx 1+i \epsilon F - \frac{1}{2}\epsilon^2 F^2$ya que tendrán contribuciones a través de términos cruzados cuando expanda

El punto aquí es que$U$es una transformación unitaria infinitesimal, por lo que despreciamos los términos de orden$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ya que son por definición insignificantes para$\mathcal O(\varepsilon)$. De este modo,

de la que vemos$F= F^\dagger$, es decir$F$debe ser hermitiano. Tenga en cuenta, sin embargo, que no siempre es el caso que mantenemos términos de orden lineal solamente.

Por ejemplo, en la derivación de Sakurai de las relaciones de conmutación para rotaciones infinitesimales, términos de orden$\mathcal O(\epsilon^2)$se mantienen, por lo que depende un poco del contexto.

Desde$\epsilon$es infinitesimal, el$\epsilon^2FF^+$El término puede ser despreciado. Mantenga sólo los términos de primer orden en$\epsilon$.

Puedes pensar en toda esta derivación de otra manera: tienes una familia$U(t)$de operadores unitarios (continuamente) parametrizados por$t$, tal que$U(t_1+t_2) = U(t_1)U(t_2)$(piense en la traducción). Resulta que$U(0)=1$. Además, llamas$U'(0)=i F$(¡derivado!), tal que$U(\epsilon)$La expansión de Taylor de primer orden se ve como$U(\epsilon) = 1 + i\epsilon F$. quieres mostrar eso$F = -i U'(0)$es hermitiano, por lo que se diferencia$U(t)U^\dagger(t) = 1$en$t=0$:

De esta manera, demuestras que el álgebra de mentira$\mathfrak{u}(n)$del grupo mentira$U(n)$de matrices unitarias consiste en matrices anti-hermitianas (=$i$veces matrices hermitianas).