¿Cómo encontrar matrices unitarias?

Aunque ohneVal da una pista para llegar a la ecuación (01) de mi comentario en su respuesta, daré una prueba que se encuentra en muchos libros de texto.

Entonces deja$\:\sigma\:$cualquier matriz compleja cuadrada finita (no necesariamente$\:2\times 2\:$ermitaños como los de Pauli) con propiedad

$$\begin{equation} \sigma^{2}=I=\text{identity} \tag{A-01} \end{equation}$$ En general $$\begin{equation} e^{it\sigma}=\cos\left(t\sigma\right)+i\sin\left(t\sigma\right) \tag{A-02} \end{equation}$$ Pero aquí basado en las expresiones en serie de las funciones trigonométricas $$\begin{align} \cos z & = 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\ =\ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k)!} \tag{A-03a}\\ \sin z & = z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots\ =\ \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!} \tag{A-03b} \end{align}$$ reemplazando $\:z \longrightarrow t\sigma\:$en (A-03) tenemos ⁽¹⁾ $$\begin{align} \cos\left(t\sigma\right)=& \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k(t\sigma)^{2k}}{(2k)!} =I\cos t \tag{A-04a}\\ \sin\left(t\sigma\right) =&\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k(t\sigma)^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sigma\sin t \tag{A-04b} \end{align}$$ y (A-02) se escribe $$\begin{equation} e^{i t \sigma}=I\cos t+i\sigma\sin t \tag{A-05} \end{equation}$$ Para tu información : $$\begin{equation} H = \text{hermitian} \Longrightarrow U= e^{i\mathrm H}=\text{unitary and } \det U=e^{i\cdot tr(H)} \tag{A-06} \end{equation}$$ dónde $\:tr(H)\:$el rastro de $\:H$, un número real.

Tenga en cuenta que las matrices de Pauli son hermíticas y sin rastro.

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^{(1) Desde (A-01)}

$$\begin{align} I & = \sigma^{0} = \sigma^{2}= \sigma^{4} = \sigma^{6}=\cdots=\sigma^{2k} \tag{A-07a}\\ \sigma & =\sigma^{3}= \sigma^{5} = \sigma^{7}=\cdots=\sigma^{2k+1} \tag{A-07b} \end{align}$$

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^{(2) Si$\:\mathbf{n}=(n_{1},n_{2},n_{3}) \in \mathbb{R}^{3}$,$\Vert\mathbf{n}\Vert^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1$, es un 3-vector unitario real, y$\:\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})\:$son las tres matrices de Pauli entonces la matriz}

$$\begin{equation} \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right) = n_{1}\sigma_{1}+n_{2}\sigma_{2}+n_{3}\sigma_{3}= \begin{bmatrix} n_3 & n_1-in_2 \\ n_1+in_2 &-n_3 \end{bmatrix} \tag{A-08} \end{equation}$$ es hermítica y sin rastro, como lo son las matrices de Pauli, y además $$\begin{equation} \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)^{2} = I \tag{A-09} \end{equation}$$ Así que si $\:t \in \mathbb{R}\:$luego de (A-05) $$\begin{equation} U \equiv e^{i t \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)}=I\cos t+i\left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)\sin t \tag{A-10} \end{equation}$$ es una matriz unitaria. Reemplazar (no accidentalmente) $\:t \longrightarrow -\theta/2\:$ $$\begin{equation} U\left(\mathbf{n},\theta\right) \equiv e^{-i\tfrac{\theta}{2} \left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)}=I\cos \left(\theta/2\right)-i\left(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\sigma}\right)\sin \left(\theta/2\right) \tag{A-11} \end{equation}$$ que es la representación matricial unitaria (especial) de una rotación alrededor $\:\mathbf{n}\:$a través de un ángulo $\:\theta$.

Por definición, lo único que debe verificar es que$V V^\dagger = V^\dagger V = \mathbb{I}$. Puedes usar la expansión de Taylor de la exponencial, junto con la propiedad$\sigma_i^2=\mathbb{I}$para$i=x,y,z$para escribir expresiones concretas para sus operadores ($e^{it\sigma_j}$).

Alternativamente, tome el adjunto (daga) en ambos lados y use su linealidad junto con las propiedades de las matrices de Pauli para simplificar los términos. Deberías poder demostrar que

$$\left(e^{it\sigma_j}\right)^{\dagger} = e^{-it\sigma_j}$$ de donde se sigue la unitaridad.

Aquí hay una prueba un poco más abstracta, pero muy general.

Primero demuéstrate a ti mismo que$\exp(A)^† = \exp(A^†)$. Puedes hacer esto con la definición de la matriz exponencial.

A continuación prueba que$\exp(a_1 A)\exp(a_2 A) = \exp((a_1+a_2)A)$. Esto debería ser similar a probar que$e^a e^b = e^{a+b}$para la exponenciación normal. También tenga en cuenta que$\exp(A)\exp(B) \ne \exp(A+B)$para matrices en general.

Finalmente, demuestre que$(i\sigma)^† = -i\sigma$, y úselo junto con los dos pasos anteriores para mostrar que$\exp(i\sigma) \exp(i\sigma)^† = \exp(0) = I$.