Ir a la imagen de interacción en el modelo de Jaynes-Cummings [cerrado]

En el modelo de Jaynes-Cummings para un átomo de dos niveles, el hamiltoniano para el átomo se define como (hago h ¯ = 1 )

H a = ω a σ z 2

y el campo hamiltoniano es

H F = ω C a † a .

La interacción hamiltoniana es

V = ( a + a † ) ( σ + + σ − ) .

Aquí σ z = | mi ⟩ ⟨ mi | − | gramo ⟩ ⟨ gramo | es el es el operador de inversión atómica, σ + = | mi ⟩ ⟨ gramo | y σ − = σ + † . Estos son los operadores de subida y bajada del átomo. a y a † son el operador bosónico de aniquilación y creación.

Ahora quiero ir a la imagen de interacción.

V I = tu † ( t ) V tu ( t ) .

Dónde tu ( t ) = mi − i ( H a + H F ) t

Desde V está formado por dos factores, uno sobre el campo, el otro sobre el átomo, supongo que puedo escribir

V = mi i ( H F ) t ( a + a † ) mi − i ( H F ) t mi i ( H a ) t ( σ + + σ − ) mi − i ( H a t .

entonces tendria que calcular

mi i ( ω C a † a ) t ( a † ) mi − i ( ω C a † a ) t

mi i ( ω C a † a ) t ( a ) mi − i ( ω C a † a ) t

mi i ( ω a σ z 2 ) t ( σ + ) mi − i ( ω a σ z 2 ) t

mi i ( ω a σ z 2 ) t ( σ − ) mi − i ( ω a σ z 2 ) t

Mi problema radica aquí, no sé cómo proceder.

He pensado en usar algo como [ a , tu ( a † a ) ] | norte ⟩ pero no llego a ningún lado desde aquí.

Respuestas (1)

Hay muchas formas de realizar este cálculo. Quizá lo más sencillo sea considerar el objeto a ( t ) = mi i ω C t a † a a mi − i ω C t a † a como la solución de la ecuación diferencial

a ˙ ( t ) = − i ω C a ( t ) .
Puedes demostrar eso a ( t ) satisface esta ecuación derivándola directamente con respecto al tiempo. (Necesitará usar el hecho de que d d t mi A t = A mi A t = mi A t A , para un operador arbitrario A .) Ahora, es fácil comprobar que la solución de la ecuación anterior es
a ( t ) = mi − i ω C t a ( 0 ) .
Nótese que esta propiedad se sigue directamente del hecho de que a es un operador decreciente, es decir, satisface la relación de conmutación
[ H F , a ] = − ω C a .
(Para probar esto necesitas la identidad [ A B , C ] = A [ B , C ] + [ A , C ] B para operadores arbitrarios A , B y C .) Una solución análoga vale para los operadores atómicos σ ± , que son operadores decrecientes con respecto al hamiltoniano H a .

Gracias, estaba tratando de probar la relación de conmutación que mencionas, pero no lo logro. El problema radica en lo que sucede con los operadores de subida/bajada en el exponente. ¿Te gustaría compartir la prueba?
@JDH He editado la respuesta con algunos consejos para ti.
No puedo obtener la diferenciación correcta, al diferenciar obtengo a ˙ = i ω ( a † a a ( t ) − a ( t ) a † a ) = i ω [ a † a , a ( t ) ] . Considerando mi ± i H F t como operadores esto no produce la respuesta correcta. ¿Dónde me equivoco?
@JDH En realidad, esa es la respuesta correcta, aunque todavía no has llegado. Necesitas usar el hecho de que un operador A conmuta con su exponencial mi A t .
Ir a la imagen de interacción en el modelo de Jaynes-Cummings [cerrado]
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v