¿Por qué el teorema de identidad para funciones holomorfas no funciona para funciones diferenciables reales?

Considere la función$f(x) = \mathrm{e}^{-1/x^2}$sobre los reales. Aunque no está definido en cero, claramente tiene un límite en cero y ese límite es cero. Ahora mira sus derivados:

$$f'(x) = \frac{2}{x^3} f(x)$$ $$f''(x) = \frac{4-6x^2}{x^6} f(x)$$ $$f'''(x) = \frac{8-36x^2+24x^4}{x^9} f(x)$$ y así sucesivamente, con el exponencial abrumando a la función racional cuando tomamos los límites en cero. Encontramos, de hecho, que este proceso de limitación nos da ceros para cada derivada en cero.

¿Es esta la función cero? No. Por lo tanto, su expansión en serie de potencias no es fiel en cero.

¿Por qué? Da un paso atrás y mira el plano complejo y observa las singularidades esenciales presionadas contra la línea real en cero y descubre que hice "trampa" tomando límites en cero. En los reales los límites existen, pero en los complejos no. En resumen, la línea real puede ser ciega a las características esenciales de las funciones. (Especialmente si la persona que posa funciones para investigar es consciente de esta deficiencia). Sin embargo, después de mirar un vecindario en los complejos, no queda nada por saber, ya que no hay ningún lugar para esconder una característica.

(Pasé algún tiempo tratando de limpiar lo que equivale a un patrón de muaré aleatorio en el centro de la trama del argumento. Lo mejor que pude lograr sigue, pero es engañoso sobre la agitación violenta del ángulo complejo cerca del origen).

(Lo que realmente deberíamos estar viendo es infinitas tiras más y más delgadas a medida que nos acercamos al origen. Por supuesto, las tiras ya tienen un píxel de ancho en la imagen dada; si intentamos adelgazarlas más, todo lo que renderizamos es una mancha continua de líneas de contorno.)