Mostrando la simetría del tensor de tensión aplicando el teorema de la divergencia a ∫∫δV(t)x⃗ ×t⃗ dS∫∫δV(t)x→×t→dS\int\int_{\delta V(t)} \vec{x} \times \vec{t} dS [duplicado]

Actualmente estoy trabajando en la simetría del tensor de tensión, en relación con el flujo viscoso. Estoy viendo esto examinando la ecuación de conservación del momento angular para un volumen material V ( t ) con unidad normal norte → = ( norte 1 , norte 2 , norte 3 ) . Tengo problemas con la aplicación del teorema de la divergencia a este término

∫ ∫ d V ( t ) X → × t → d S

Dónde X → = ( X 1 , X 2 , X 3 ) y t → es el vector de tensión donde t → = mi → i σ i j norte j , utilizando la convención de suma, donde σ i j es vector de tensión.

Si puedo extraer una normal de esta expresión, puedo usar el teorema de la divergencia para convertirla en una integral de volumen y combinarla con los otros términos de la ecuación de conservación del momento angular, que son integrales de volumen, esto conducirá a mostrar σ i j = σ j i .

Respuestas (1)

El i la componente de la integral es ∮ S ϵ i j k X j σ k yo norte yo d S Vemos eso ϵ i j k X j σ k yo tiene su yo contrato indexado con norte ^ . Así, el teorema de la divergencia nos permite convertir esta integral en ∫ V ∂ yo ϵ i j k X j σ k yo d V = ∫ V ϵ i j k ( ∂ yo X j ) σ k yo d V + ∫ V ϵ i j k X j ( ∂ yo σ k yo ) d V = ∫ V ϵ i j k d yo j σ k yo d V + ∫ V ϵ i j k X j t k d V = ∫ V ϵ i j k σ k j d V + ∫ V ϵ i j k X j t k d V .

¿Es esto lo que querías?

Mostrando la simetría del tensor de tensión aplicando el teorema de la divergencia a ∫∫δV(t)x⃗ ×t⃗ dS∫∫δV(t)x→×t→dS\int\int_{\delta V(t)} \vec{x} \times \vec{t} dS [duplicado]
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