¿Por qué el tensor de Riemann reducido solo tiene 20 componentes independientes para la métrica de Schwarzschild?

Question

¿Por qué el tensor de Riemann reducido solo tiene 20 componentes independientes para la métrica de Schwarzschild?

Física
curvatura
cálculo tensorial
grados de libertad
relatividad general
geometría diferencial

leob

He visto bastante en línea sobre cómo solo hay 20 componentes independientes para el tensor de Riemann (reducido) $R_{abcd}$ para la métrica de Schwarzschild. Me han dicho que esto se sigue de las simetrías del tensor, es decir:

$R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc}=R_{badc}$ y $R_{abcd}=R_{cdab}$

Ahora bien, si todos los índices en el tensor pueden ir de 1 a 4, entonces $R_{abcd}$ tiene 256 componentes. Estas simetrías parecen reducir nuestra necesidad de calcular componentes, pero ¿por qué solo 20?

Nota: Soy consciente de que hay algunas preguntas similares en el intercambio de pila. Los he leído, pero ninguno de ellos explicó muy claramente este punto específico, así que decidí preguntarlo directamente para poder entenderlo.

Frodcubo

Puede encontrar el cálculo aquí preposterousuniverse.com/wp-content/uploads/grnotes-three.pdf de la página 79 (25 del archivo). Olvidaste algunas simetrías más del tensor

Respuestas (2)

¿Por qué el tensor de Riemann reducido solo tiene 20 componentes independientes para la métrica de Schwarzschild?

Puede encontrar el cálculo aquí preposterousuniverse.com/wp-content/uploads/grnotes-three.pdf de la página 79 (25 del archivo). Olvidaste algunas simetrías más del tensor

JG · Answer 1

Solo para resumir el cálculo que mencionó FrodCube, $R_{abcd}\ne 0$ sólo cuando $a\ne b$ y $c\ne d$ . En $n$ -espacio-tiempo dimensional hay $\binom{\binom{n}{2}+1}{2}$ formas de elegir las parejas $ab,\,cd$ (se permite que sean iguales, de ahí el $+1$ ). entonces perdemos $\binom{n}{4}$ grados de libertad a la primera identidad de Bianchi $R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0$ . Un poco de álgebra dice que deja $\frac{1}{6}\binom{n^2}{2}$ DOF, que para $n=4$ es $20$ según sea necesario.

RGJ · Answer 2

El comentario de FrodCube apunta a la ecuación (3.85) de Lecture Notes on General Relativity de Sean M. Carroll de diciembre de 1997, que cuando se evalúa para n=4 da 20.

Para los que no quieran abrir el enlace/no existe/quieran verlo rápido, mi respuesta es para ellos.

Primera nota que $^nC_{k}$ viene dado por ( https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coficient ),

^{norte} C_{k} = \frac{norte!}{k! (norte - k)!}

$\begin{equation} ^nC_{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{equation}$

El número de componentes independientes del tensor de Riemann ( $IRC$ ) en $d$ dimensiones del espacio-tiempo es simplemente,

I R C = \frac{^{d} C_{2} (^{d} C_{2} + 1)}{2} -^{d} C_{4}

$\begin{equation} IRC = \frac{~^dC_{2} (^dC_{2} + 1)}{2} - ~^dC_{4} \end{equation}$

Probablemente deberías explicar cómo la expresión para $IRC$ viene de $^nC_k$ para hacer de esta una mejor respuesta.

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leob

Frodcubo

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