¿Se puede demostrar que γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 directamente de las relaciones de anticonmutación?

Question

¿Se puede demostrar que γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 directamente de las relaciones de anticonmutación?

Física
matrices de dirac
mecánica cuántica
teoría de la representación

ppr

¿Es posible demostrar que ${\gamma^5}^\dagger = \gamma^5$ , dónde

γ^{5} := i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3},

$\gamma^5 := i\gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3,$ utilizando únicamente las relaciones de anticonmutación entre los

γ

$\gamma$ matrices,

{γ^{m}, γ^{v}} = 2 η^{m v} 1,

$\left\{\gamma^\mu,\,\gamma^\nu\right\}=2\eta^{\mu\nu}\,\mathbb{1},$ y sin utilizar ninguna representación específica de este álgebra y un argumento de invariancia unitaria, como se suele hacer?

Martín

necesitas saber eso

γ^{μ †} = γ^{μ}

$\gamma^{\mu \dagger}=\gamma^{\mu}$ para todos

μ = 0, 1, 2, 3

$\mu=0,1,2,3$ , entonces es sencillo.

ppr

Martín: ¿Cómo demuestras eso?

leonelbrit

no es

γ^{1, 2, 3}

$\gamma^{1,2,3}$ ¿anti-ermitaños?

ppr

Depende de la representación que elijas.

usuario26143

γ^{μ †} = γ^{0} γ^{μ} γ^{0}

$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0 \gamma^{\mu} \gamma^0$ y

[γ^{μ}, γ^{ν}]_{+} = 2 η^{μ ν}

$[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]_+=2\eta^{\mu\nu}$ . Para +--- métrico,

γ^{0}

$\gamma^0$ es hermitiano y

γ^{i}, i = 1, 2, 3

$\gamma^i,i=1,2,3$ es anti-hermitiano. Para la métrica -+++,

γ^{0}

$\gamma^0$ es anti-hermitiano y

γ^{i}

$\gamma^i$ es hermitiano. Quizás no se deba a la representación.

usuario26143

Sin la información de la hermicidad de las matrices gamma, ¿cómo asegurar la hermicidad del hamiltoniano en la ecuación de Dirac?

leonelbrit

Bueno, un número impar de matrices gamma cambiará de signo bajo el adjunto hermitiano, y el

i

$i$ se encargará de la señal. La relación anticonmutación se encargará de reordenar todos los términos.

qmecanico

Meta publicación relacionada: meta.physics.stackexchange.com/q/5258/2451

Emilio Pisanty

¿Qué está dispuesto a suponer sobre la hermiticidad de las otras matrices gamma? Si no tiene alguna hipótesis de este tipo, entonces, ¿qué quiere decir exactamente con

^{†}

${}^\dagger$ , ¿después?

usuario10001

@CrazyBuddy Esta pregunta no está fuera de tema. Qmecánico también piensa lo mismo. Vea su comentario en esta meta publicación .

Maní Loco de Waffle

@ usuario10001: Listo. Después de la revisión de Emilio, creo que vale la pena reabrir. Salud :)

Respuestas (2)

¿Se puede demostrar que γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 directamente de las relaciones de anticonmutación?

necesitas saber eso $\gamma^{\mu \dagger}=\gamma^{\mu}$ para todos $\mu=0,1,2,3$ , entonces es sencillo.
$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0 \gamma^{\mu} \gamma^0$ y $[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]_+=2\eta^{\mu\nu}$ . Para +--- métrico, $\gamma^0$ es hermitiano y $\gamma^i,i=1,2,3$ es anti-hermitiano. Para la métrica -+++, $\gamma^0$ es anti-hermitiano y $\gamma^i$ es hermitiano. Quizás no se deba a la representación.
Sin la información de la hermicidad de las matrices gamma, ¿cómo asegurar la hermicidad del hamiltoniano en la ecuación de Dirac?
Bueno, un número impar de matrices gamma cambiará de signo bajo el adjunto hermitiano, y el $i$ se encargará de la señal. La relación anticonmutación se encargará de reordenar todos los términos.
Meta publicación relacionada: meta.physics.stackexchange.com/q/5258/2451
¿Qué está dispuesto a suponer sobre la hermiticidad de las otras matrices gamma? Si no tiene alguna hipótesis de este tipo, entonces, ¿qué quiere decir exactamente con ${}^\dagger$ , ¿después?
@CrazyBuddy Esta pregunta no está fuera de tema. Qmecánico también piensa lo mismo. Vea su comentario en esta meta publicación .
@ usuario10001: Listo. Después de la revisión de Emilio, creo que vale la pena reabrir. Salud :)

Neuneck · Answer 1

Neuneck

Como explicaron los comentarios, necesita conocer algunas propiedades del $\gamma$ matrices. En primer lugar, desde

{γ_{m}, γ_{v}} = 2 η_{m v} 1_{4}

$\{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \eta_{\mu \nu} \mathbf{1}_4$ puedes inferir que (dependiendo de la métrica pero no de la representación del álgebra de dirac!) en (+---) métrica

γ_{0}

$\gamma_0$ es hermitiano (pista: mira el

μ = 0, ν = 0

$\mu = 0, \nu = 0$ componente de la ecuación anterior), mientras que el

γ_{i}

$\gamma_i$ (

i = 1, 2, 3

$i = 1, 2, 3$ ) son anti-ermitaños. (En la métrica -+++, esto se intercambiaría). Y esto debería permitirle resolver el problema.

Las propiedades de hermicidad se pueden condensar en

γ_{m}^{†} = γ_{0} γ_{m} γ_{0}

$\gamma_\mu^\dagger = \gamma_0 \gamma_\mu \gamma_0$ que simplemente reproduce lo anterior si tiene en cuenta las propiedades de conmutación.

ppr

Estimado Neuneck, gracias por su respuesta. Me falta una cosa: ¿cómo demuestras eso?

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2=\mathbb{1}$ lleva a

(γ^{0})^{†} = γ^{0}

$(\gamma^0)^\dagger = \gamma^0$ , y eso

(γ^{j})^{2} = - 1

$(\gamma^j)^2=-\mathbb{1}$ lleva a

(γ^{j})^{†} = - γ^{j}

$(\gamma^j)^\dagger = - \gamma^j$ ?

Neuneck

@Psycho_pr Creo que la forma más fácil de verlo es que es cierto para la representación de Dirac (como se detalla en wikipedia ) y usar el hecho de que todas las representaciones del álgebra de Clifford son unitariamente equivalentes, es decir, relacionadas por una transformación

γ_{m} \to {tu}^{†} γ_{m} tu

$\gamma_\mu \to U^\dagger \gamma_\mu U$ con

U^{†} U = 1

$U^\dagger U = \mathbf 1$ , lo que deja invariantes las propiedades de hemicidad.

ppr

Hrmm, pero si vamos a ver una representación en particular de todos modos, ¿por qué necesitamos saber eso?

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2 = \mathbb{1}$ y eso

(γ^{j})^{2} = - 1

$(\gamma^j)^2=-\mathbb{1}$ ? Podríamos haber mostrado directamente las propiedades de hermiticidad en las representaciones de Dirac (o Weyl) y luego mostrar que permanece invariante bajo transformaciones unitarias. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Neuneck

La prueba completa implica mostrar que las matrices gamma son la base de una (representación de dimensión finita de un) grupo infinito. Por lo tanto, deben ser unitarios y usar esto además de las relaciones que di implica las propiedades de conjugación. -- Siento no haber mencionado esto antes.

usuario26143

Supongo que intentaste seguir el QFT de Peskin, p50 "La matriz

γ^{5}

$\gamma^5$ tiene las siguientes propiedades, todas las cuales se pueden verificar usando (3.68) y la relación anticonmutación (3.22)". No creo que eso sea suficiente. Uno tiene que usar las propiedades de hermicidad de las matrices gamma. Las propiedades de hermicidad de las matrices gamma son un requisito para la Hermicidad de Dirac Hamiltoniano. Es natural usarlos. Una vez que adoptamos la Hermicidad de las matrices gamma, la prueba de

γ^{5 †} = γ^{5}

$\gamma^{5\dagger}=\gamma^5$ es sencillo

usuario26143

Puede probar la Hermicidad (y la anti-Hermicidad) a partir de la antigua ecuación de Dirac,

H = α \cdot p + β m

$H=\mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{p} + \beta m$ (bajo +--- métrico),

γ^{0} := β, γ^{i} := β α^{i}

$\gamma^0:=\beta, \gamma^i:=\beta \alpha^i$ ,

β^{†} = β

$\beta^{\dagger}=\beta$ ,

α^{i †} = α^{i}

$\alpha^{i\dagger}=\alpha^i$ y las relaciones antitrabajo de

α, β

$\alpha,\beta$ matrices.

ppr

@ user26143, eso es exactamente lo que traté de hacer. En Neuneck: Entonces, si entiendo correctamente, el esquema es así:

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2=\mathbb{1}$ y

(γ^{j})^{2} = - 1

$(\gamma^j)^2=-\mathbb{1}$ fuera de las relaciones de conmutación y las matrices gamma deben ser unitarias por la razón que mencionaste, por lo que , juntos, estos dos hechos implican las relaciones de hermiticidad. Entonces, con estos dos hechos, nunca usamos ninguna representación en particular (excepto, tal vez, al probar que las matrices gamma son unitarias).

usuario26143

OK, si uno pudiera usar la información de una representación particular (más la equivalencia unitaria), entonces la Hermicidad es un corolario... Sin embargo, diría que la Hermicidad es necesaria para justificar que la representación de Dirac es una representación correcta...

Emilio Pisanty

Solo una nota rápida, el cuadrado de la identidad no implica que una matriz sea hermítica. Un contraejemplo es

METRO = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

$M=\begin{pmatrix}-1&-2\\ \phantom{-}0&\phantom{-}1\end{pmatrix}.$ ¿Esta respuesta sigue siendo válida a la luz de ese hecho?

ppr

@EmilioPisanty, según Neuneck,

γ^{0}

$\gamma^0$ es a la vez idempotente y unitario. Estos dos hechos juntos, supuestamente, implican Hermiticidad. ¿Es esto cierto?

Neuneck

Sí. Para matrices unitarias con

A^{2} = 1

$A^2 =1$ tenemos

A = A^{- 1} = A^{†}

$A = A^{-1} = A^\dagger$ .

Neuneck

@ user26143 Puede verificar que el representante de Dirac. es una 'representación correcta' por fuerza bruta a través de las relaciones de anticonmutación. Como mencioné, la unitaridad es un corolario para repeticiones de dimensión finita del álgebra de Clifford (aunque todavía no puedo nombrar el teorema, lo siento)

Emilio Pisanty

@Psycho_pr Eso es correcto. Sin embargo, debe tener en cuenta que si asume

β

$\beta$ es hermitiano entonces ya estás ahí. A menos que admita una hipótesis que relacione las matrices gamma con la estructura del producto interno, nunca probará su resultado.

usuario26143

@Neuneck No estoy seguro de si la relación anticonmutación de las matrices gamma es suficiente para la ecuación de Dirac, aunque se podría decir que el campo de Dirac es solo una representación espinosa del grupo de Poincaré. del hamiltoniano

H = \int d^{3} X ψ^{†} [- i γ^{0} \vec{γ} \cdot \vec{\nabla} + metro γ^{0}] ψ = \int d^{3} X ψ^{†} [γ^{0} \vec{γ} \cdot \vec{pags} + metro γ^{0}] ψ

$H= \int d^3 x \psi^{\dagger} [ - i \gamma^0 \vec{\gamma} \cdot \vec{{\nabla}} + m \gamma^0 ] \psi = \int d^3 x \psi^{\dagger} [ \gamma^0 \vec{\gamma} \cdot \vec{p} + m \gamma^0 ] \psi$ , para asegurar

H^{†} = H

$H^{\dagger}=H$ , necesito la Hermicidad de

γ

$\gamma$ . ¿Proporcionaría una referencia de que la unitaridad es corolario para repeticiones de dimensión finita del álgebra de Clifford? Gracias

Wouter · Answer 2

Trate de usar la definición de $\gamma^5$ y solo aplica la conjugación. Recuerde que la conjugación invierte el orden de las matrices, lo que significa que desea cambiar su orden antes de aplicar la conjugación.

Luego, date cuenta de que las relaciones de anticonmutación te brindan una forma de intercambiar dos matrices gamma, dando solo un signo menos (siempre que los índices sean diferentes).

Por último, tenga en cuenta que, independientemente de su convención, tiene un número impar de matrices antihermitianas en esta expresión (mientras que el resto es hermitiana).

¿Se puede demostrar que γ5†=γ5γ5†=γ5{\gamma^5}^\dagger = \gamma^5 directamente de las relaciones de anticonmutación?

ppr

Martín

ppr

leonelbrit

ppr

usuario26143

usuario26143

leonelbrit

qmecanico

Emilio Pisanty

usuario10001

Maní Loco de Waffle

Respuestas (2)

Neuneck

ppr

Neuneck

ppr

Neuneck

usuario26143

usuario26143

ppr

usuario26143

Emilio Pisanty

ppr

Neuneck

Neuneck

Emilio Pisanty

usuario26143

Wouter

¿Por qué el orden más bajo de matrices en la ecuación de Dirac son matrices de 4x4? [duplicar]

Orden de matrices en ecuaciones de Dirac

¿Cómo encontrar una representación particular para las matrices gamma?

¿Por qué los sistemas de dos electrones generalmente se describen en base a triplete-singlete?

Simplificar una suma de productos de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Recomendación de libro de Mecánica Cuántica (con parámetros específicos)

¿Qué transformación da una representación tipo Weyl al invertir γ0γ0\gamma^0 y γ5γ5\gamma^5?

¿Qué significa Λ−112γμΛ12=ΛμμνγνΛ12−1γμΛ12=Λμνμγν\Lambda^{-1}_{\frac{1}{2}}\gamma^\mu\Lambda_{\frac{1}{2}}=\Lambda^ \mu_{\phantom{\mu}\nu}\gamma^\nu significa?

¿Qué son realmente los sectores de superselección y para qué sirven?

¿Por qué el electrón gira con una inclinación particular?