¿Cómo encontrar una representación particular para las matrices gamma?

Una opción es comenzar con la representación matricial de dos conjuntos de números de Grassmann conjugados (ver hilo anterior),$\theta_i, \pi_i$con$i=1,...,N$, tal que

$\{\theta_i,\theta_j\}=0,\quad\{\pi_{i},\pi_{j}\} = 0, \quad \{\theta_i,\pi_j\} = \delta_{ij}$

Entonces un$2N$El álgebra de Clifford bidimensional se puede construir mediante

$\gamma_{i}=\theta_{i}+\pi_{i}\\ \gamma_{N+i}=i(\theta_{i}-\pi_{i})$

Dadas las relaciones de anticonmutación anteriores, es sencillo verificar que$\{\gamma_{i},\gamma_{j}\}=2\delta_{ij}\mathbf{1}$. Para un número impar de dimensiones, la última$\gamma$-la matriz se puede encontrar considerando el producto

$\gamma_{2N+1} = i^N\prod_{i=1}^{2N}\gamma_{i} = i^N\gamma_{1}\gamma_2...\gamma_{2N}$

Para obtener una representación del álgebra de Dirac$\{\gamma_{\mu},\gamma_\nu\}=2g_{\mu\nu}\mathbf{1}$con firma (+,-,-,...,-) simplemente gire todas menos una de las matrices en la representación tal que$\gamma_i\to i\gamma_i$(y reetiquetar un poco).

Este enfoque permite obtener representaciones generales de las matrices gamma a partir de los números de Grassmann.

Sin embargo, existe otra opción, a saber, comenzar con una representación de menor dimensión del álgebra de Clifford (que se puede calcular mediante el método descrito anteriormente). Un caso bien conocido de una representación de menor dimensión, que también conocían Weyl & Dirac, serían las matrices de Pauli:

$\sigma_{1} = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right], \quad \sigma_{2} = \left[\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix}\right], \quad \sigma_{3} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right]$

De estas matrices productos externos,$\rho_i = \mathbf{1}\otimes \sigma_i$y$\eta_i = \sigma_i \otimes \mathbf{1}$, se puede formar. Entonces es claro que$[\rho_i,\eta_j]=0$lo que permite elegir cinco matrices del conjunto$\{\rho_i,\eta_j,\rho_i\eta_j\}$que cumplen el álgebra de Clifford.

Para hacer este enfoque un poco más explícito, considere comenzar con una matriz diagonal del conjunto inicial para simplificar: elijamos$\rho_3$($\eta_3$hubiera sido otra opción). Esto nos deja con dos conjuntos potenciales de matrices, a saber$\{\rho_1,\rho_2\eta_1,\rho_2\eta_2,\rho_2\eta_3\}$y$\{\rho_{2},\rho_{1}\eta_{1},\rho_{1}\eta_{2},\rho_{1}\eta_{3}\}$. Desde$\rho_1$es real elijo el primer conjunto, haciendo las matrices:

$$\begin{align} \gamma_0 &= \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right] = \rho_3, &&\gamma_1 = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = i\rho_2\eta_1 \\ \gamma_2 &= \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = i\rho_2\eta_2, &&\gamma_3 = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = i\rho_2\eta_3\\ \gamma_5 &= \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = \rho_1 \end{align}$$

donde me he tomado la libertad de rotar tres de ellos como se describe arriba. De esta manera se encuentra la representación de Dirac. Tenga en cuenta que se hicieron algunas elecciones en el camino, pero que varias de ellas pueden estar motivadas por la búsqueda de una representación simple (eligiendo diagonal y/o real cuando sea posible).

Este enfoque, naturalmente, se puede generalizar para generar también representaciones de dimensiones superiores.

Aquí hay una solución general al problema de definir las representaciones de matrices gamma.

Una representación de matrices gamma se define completamente definiendo los siguientes cinco vectores de estado:

$$D_0 = D_{++} = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right],\;\;\; D_1 = D_{+-} = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right],\;\;\; D_2 = D_{-+} = \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right],\\ D_3 = D_{--} = \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right],\;\;\;\;\; V = \left[\begin{matrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right].\\ $$

La razón para llamar a estos estados "D" y "V" es que las matrices de densidad de los primeros cuatro son diagonales, mientras que la última es un ejemplo de lo que Schwinger llamó el "vacío" en uno de sus artículos sobre el Álgebra de medidas de Schwinger. . He dado dos notaciones para D_xx para simplificar la derivación.

Los cuatro estados diagonales están definidos por un "Conjunto completo de observables de desplazamiento". Esta es información suficiente para determinar un estado cuántico. Para el caso de las matrices gamma de Dirac, un conjunto completo de observables conmutables tendrá dos observables (distintos) que resultan ser "raíces de la unidad". Es decir, los dos observables$P$y$Q$tiene que satisfacer:

$$PP = QQ = 1,\;\;P\;\textrm{not equal to}\;Q ,\;\;\textrm{and}\;\; PQ = QP,$$

con ninguno igual a 1 o -1. Un ejemplo de dos elementos de álgebra gamma que satisfacen estos requisitos son

$$P = \gamma^3\gamma^0,\;\;Q = i\gamma^1\gamma^2$$

Ignorando los signos, hay dieciséis posibles productos de matrices gamma:

$$\{1,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^1\gamma^2, ... \gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0\}$$

Para usar uno de estos como raíz de la unidad, tenemos que hacerlo cuadrado a +1. Entonces, si se eleva al cuadrado a -1, simplemente multiplícalo por i. No podemos usar 1 como$P$, por lo que después de convertir lo anterior en raíces de la unidad, tenemos 15 opciones para$P$.

Una vez que elegimos$P$, quedan 14 raíces de la unidad. De estos, solo seis viajarán con$Q$así que podemos elegir uno de esos seis. y habiendo elegido$P$y$Q$, su producto$PQ=QP$será también una raíz de unidad que conmuta con$P$y$Q$. Así que además de$\{P,Q\}$, también podríamos haber elegido$\{P,PQ\}$o$\{Q,PQ\}$y terminó con la misma representación.

A continuación tenemos que elegir$V$. Este es un estado único que es un "estado complementario" a nuestro Conjunto completo de observables de desplazamiento. Este es un concepto básico en la mecánica cuántica; el ejemplo habitual es la posición y el impulso. El requisito es que las probabilidades de transición entre el estado$V$y el$D_n$todos los estados deben ser iguales.

De hecho, el$V$El estado es fácil de elegir. De los 16 productos de matrices gamma, uno era trivial (es decir, 1), y tres son los$\{P,Q,PQ\}$. Los 12 productos restantes son observables complementarios. Todo lo que tenemos que hacer es elegir dos de ellos que sean distintos y que viajen. Llámalos$R$y$S$. Podemos elegir$R$completamente libre de esos 12 productos. Después de elegir$R$, habrá cuatro opciones para$S$y, como antes, vendrán en pares, por lo que en realidad solo hay dos opciones. Entonces el$V$estado tomará +1 o -1 como sus valores propios con respecto a$R$y$S$así que con$R$y$S$en la mano, habrá cuatro opciones para$V$.

Las cosas son más fáciles si las escribimos en forma de matriz de densidad pura. Si usamos los valores propios +1 para el estado$V$, su estado de matriz de densidad pura será:

$$\rho_V = (1+R)(1+S)/4 =\frac{1}{4}\left[\begin{matrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \end{matrix}\right]$$

Ahora podemos escribir las cuatro matrices de densidad (puras) correspondientes a$D_n$como:

$$\rho_{D++} = (1+P)(1+Q)/4\\ \rho_{D+-} = (1+P)(1-Q)/4\\ \rho_{D-+} = (1-P)(1+Q)/4\\ \rho_{D--} = (1-P)(1-Q)/4\\$$

Cuando se escribe en la representación, las anteriores deben ser matrices diagonales, cada una con un solo 1 en la diagonal y el resto cero.

De manera similar, podemos seleccionar el elemento de matriz nm de la representación mediante multiplicaciones de matrices de densidad de la forma:

$$M_{nm} = \rho_{Dn}\;\rho_V\;\rho_{Dm}$$

Por ejemplo:

$$M_{02} = \rho_{D0}\;\rho_V\;\rho_{D2}$$ que en la representación es explícitamente: $$\frac{1}{4}\left[\begin{matrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]= \frac{1}{4}\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]$$

Como ahora sabemos qué elementos del álgebra representan un punto particular en la matriz, podemos leer la representación al ver qué elementos del álgebra contribuyen a qué elementos de la matriz. Por ejemplo, si$\gamma_0$aparece en$M_{02}$, entonces la representación de$\gamma_0$tendrá un 1 en su posición (0,2).

Resulta que recientemente he estado investigando sobre matrices gamma y he escrito una aplicación usando Java que permite al usuario trabajar con los pasos anteriores haciendo clic en los botones en una interfaz gráfica de usuario. Muestra la representación resultante y también puede mostrar los resultados de otros productos de matrices gamma como$i\gamma^1\gamma^2$. Puse algunos ajustes preestablecidos para que pueda obtener representaciones de matriz gamma estándar con un solo clic de tecla y encontré esta pregunta mientras usaba un motor de búsqueda para encontrar más casos. Lo vincularé cuando esté hecho.

Además, debe tenerse en cuenta que lo anterior describe explícitamente solo las representaciones que representan los productos de matrices gamma como matrices cuyos 16 elementos incluyen cuatro fases complejas y 12 ceros. Mediante rotaciones y aumentos, puede obtener representaciones más generales.