Entendiendo la ecuación de Dirac

Estoy leyendo un libro de física donde se presenta la ecuación de Dirac en la forma:

$$\left[c \boldsymbol{\alpha} \cdot\left(\boldsymbol{p}+\frac{e \boldsymbol{A}}{c}\right)-e \phi+\beta m c^{2}\right] \Psi=\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial \mathrm{t}}$$ dónde $$\boldsymbol{\alpha}_{k}=\left[\begin{array}{cc} 0_{2} & \sigma_{k} \\ \sigma_{k} & 0_{2} \end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{cc} \mathbb{I}_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & -\mathbb{I}_{2} \end{array}\right].$$ Luego, el autor quiere mostrar las soluciones para un campo magnético constante, con$\phi\equiv0$. Luego escribe: $$\left[\begin{array}{ll} m c^{2} & c \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi} \\ c \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi} & -m c^{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \psi_{u} \\ \psi_{l} \end{array}\right]=E\left[\begin{array}{l} \psi_{u} \\ \psi_{l} \end{array}\right]$$ Sin explicación en ninguna parte de lo que$\boldsymbol{\pi}$es, sin embargo, puedo ver que debe estar conectado a$\boldsymbol{p}$. A continuación, establece la siguiente ecuación, sin explicar de dónde proviene: $$\begin{equation}(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi})^{2}=\pi^{2}+i \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\pi} \times \boldsymbol{\pi}\tag{*} \end{equation}$$ Y no sé por qué estos términos son iguales. alguien puede explicar

1. qué es$\boldsymbol{\pi}$¿exactamente?

2. ¿De dónde viene el resultado en la ec.$(*)$¿viene de?