Varianza de un campo cuántico interactivo en su estado de vacío

Question

Varianza de un campo cuántico interactivo en su estado de vacío

vacío
Física
interacciones
teoría cuántica de campos
electrodinámica-cuántica

SRS

Un campo cuántico que no interactúa $\hat{\phi}(x)$ se puede descomponer en $a_{\textbf{k}}$ y $a_{\textbf{k}}^\dagger$ . Esto nos permite calcular la varianza de un campo libre. Por ejemplo, la varianza del campo escalar real libre, en el vacío $|0\rangle$ de la teoría, se calcula que es (sin un límite de impulso)

V a r (ϕ)_{0} = ⟨ 0 | ϕ^{2} | 0 ⟩ - (⟨ 0 | ϕ | 0 ⟩)^{2} = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{k^{2} + {metro}^{2}}} \to \infty .

${\rm Var}(\phi)_0=\langle0|\phi^2|0\rangle-\big(\langle0|\phi|0\rangle\big)^2\\=\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{\textbf{k}^2+m^2}}\rightarrow \infty.$ Ahora, considere una teoría de campos cuánticos interactivos descrita por el hamiltoniano

H

$H$ y

| Ω ⟩

$|\Omega\rangle$ es el estado de vacío de la teoría de la interacción, es decir

H | Ω ⟩ = 0 | Ω ⟩ (también, {PAG}^{m} | Ω ⟩ = 0 | Ω ⟩) .

$H|\Omega\rangle=0|\Omega\rangle\hspace{0.5cm}\big(\text{also,}~P^\mu|\Omega\rangle=0|\Omega\rangle\big).$ Ya no es posible descomponer el campo en operadores de creación y aniquilación. Entonces, ¿cómo se calcula la varianza

V a r (ϕ)_{Ω} = ⟨ Ω | ϕ^{2} | Ω ⟩ - (⟨ Ω | ϕ | Ω ⟩)^{2}

${\rm Var}(\phi)_\Omega=\langle\Omega|\phi^2|\Omega\rangle-\big(\langle\Omega|\phi|\Omega\rangle\big)^2$ en

λ ϕ^{4}

$\lambda\phi^4$ ¿teoría?

Profesor Legolasov

Si trabaja con Wightman QFT, una parte de la definición de QFT es la función de 2 puntos

W (x, y) = ⟨ 0 | ϕ (x) ϕ (y) | 0 ⟩

$W(x, y) = \left< 0 \right| \phi(x) \phi(y) \left| 0 \right>$ . Esa función siempre tiene una singularidad en

x = y

$x = y$ -- su pregunta está mal planteada, la varianza siempre es divergente. Puede optar por regularizar la teoría redefiniendo el comportamiento de la función de 2 puntos a corta distancia, es decir, hacer que sea tal que

W (x, x) = μ

$W(x, x) = \mu$ . Entonces la varianza es igual a

μ

$\mu$ por definición. Lo que demuestra que la varianza no es física (las cantidades físicas tienen límites bien definidos para

μ \to \infty

$\mu \rightarrow \infty$ ).

una mente curiosa

Ni tu pregunta ni tu "cálculo" para el campo libre al principio tienen sentido para mí. Un campo cuántico no es un operador, es una distribución con valores de operador.

ϕ

$\phi$ , sin alimentarlo con nada, no es un operador y tiene tanto sentido preguntar por su varianza como preguntar por "el valor" de una función. ¿Está tratando de calcular la varianza de

ϕ (x)

$\phi(x)$ ? ¿Por qué? Si es así, ¿por qué no hay

x

$x$ en tu primera ecuación? Tenga en cuenta también que

⟨ ϕ (x) ϕ (x) ⟩

$\langle \phi(x)\phi(x)\rangle$ es "la probabilidad de que una partícula presente en

x

$x$ para ser detectado en

x

$x$ ".

SRS

Sí. Estoy tratando de calcular la varianza. Debería ser obvio que simplemente suprimí el argumento "x". Está claramente escrito en la oración inicial. @ACuriousMind

Respuestas (2)

Varianza de un campo cuántico interactivo en su estado de vacío

Si trabaja con Wightman QFT, una parte de la definición de QFT es la función de 2 puntos $W(x, y) = \left< 0 \right| \phi(x) \phi(y) \left| 0 \right>$ . Esa función siempre tiene una singularidad en $x = y$ -- su pregunta está mal planteada, la varianza siempre es divergente. Puede optar por regularizar la teoría redefiniendo el comportamiento de la función de 2 puntos a corta distancia, es decir, hacer que sea tal que $W(x, x) = \mu$ . Entonces la varianza es igual a $\mu$ por definición. Lo que demuestra que la varianza no es física (las cantidades físicas tienen límites bien definidos para $\mu \rightarrow \infty$ ).
Ni tu pregunta ni tu "cálculo" para el campo libre al principio tienen sentido para mí. Un campo cuántico no es un operador, es una distribución con valores de operador. $\phi$ , sin alimentarlo con nada, no es un operador y tiene tanto sentido preguntar por su varianza como preguntar por "el valor" de una función. ¿Está tratando de calcular la varianza de $\phi(x)$ ? ¿Por qué? Si es así, ¿por qué no hay $x$ en tu primera ecuación? Tenga en cuenta también que $\langle \phi(x)\phi(x)\rangle$ es "la probabilidad de que una partícula presente en $x$ para ser detectado en $x$ ".
Sí. Estoy tratando de calcular la varianza. Debería ser obvio que simplemente suprimí el argumento "x". Está claramente escrito en la oración inicial. @ACuriousMind

MannyC · Answer 1

Como ya mencionaron otras personas, $\phi^2(x)$ no está realmente bien definido porque hay una divergencia UV al tomar $x\to y$ en $\phi(x)\phi(y)$ . Pero en QFT podemos dar un significado a $\phi^2(x)$ como operador compuesto . La divergencia UV que encontramos se puede restar orden por orden en la teoría de la perturbación y obtener una respuesta finita al final.

Permítanme asumir por simplicidad que el valor esperado de $\phi(x)$ es cero en el vacío. Entonces tenemos que calcular $\langle \phi^2(x)\rangle$ . Supongo que está familiarizado con el formalismo de la integral de caminos. Definamos una fuente $L(x)$ al que el operador compuesto $\phi^2(x)$ está acoplado. Entonces tenemos una función de partición

Z [L] = \int D ϕ Exp (- S [ϕ] + \int d^{d} X L_{B} (X) (ϕ_{B})^{2} (X)),

$Z[L] = \int \mathcal{D}\phi\, \exp\left(-S[\phi] + \int \mathrm{d}^dx\,L_B(x)(\phi_B)^2(x)\right)\,,$ donde el subíndice "

B

$B$ " significa "desnudo". El campo se vuelve a normalizar con la normalización habitual de la función de onda

ϕ_{B} (x) = \sqrt{Z_{ϕ}} ϕ (x)

$\phi_B(x) = \sqrt{Z_{\phi}}\phi(x)$ y

L

$L$ se vuelve a normalizar como

L_{B} (x) = Z_{L} L (x)

$L_B(x) = Z_L L(x)$ . Tenemos por definición

(ϕ^{2})_{B} (X) = Z_{L}^{- 1} (ϕ^{2}) (X),

$(\phi^2)_B(x) = Z_L^{-1} (\phi^2)(x)\,,$ donde uso los paréntesis para distinguir entre el cuadrado del operador

ϕ

$\phi$ y el operador

ϕ^{2}

$\phi^2$ . Correladores con el operador

(ϕ^{2})

$(\phi^2)$ se puede calcular como

⟨ (ϕ^{2}) (X_{1}) \dots (ϕ^{2}) (X_{norte}) ⟩ = \frac{1}{Z [0]} \frac{d^{norte}}{d L (X_{1}) \dots d L (X_{norte})} Z [L] .

$\langle (\phi^2)(x_1)\cdots (\phi^2)(x_n)\rangle = \frac{1}{Z[0]}\frac{\delta^n}{\delta L(x_1)\cdots \delta L(x_n)} Z[L]\,.$ Si queremos considerar inserciones de puntos más altos de

(ϕ^{2})

$(\phi^2)$ , al contar potencias necesitaríamos agregar también un término

a \int L^{2} (x)

$a\int L^2(x)$ y renormalizar el acoplamiento

a

$a$ , pero para este caso no nos importa.

Las reglas de Feynman son simples, simplemente agregue a las reglas para $S[\phi]$ un nuevo vértice con un $L$ pierna y dos $\phi$ piernas. La función que necesitamos $\langle (\phi^2)(x)\rangle$ es la suma de todos los diagramas de Feynman con uno externo $L$ pierna. En un bucle en dim-reg esto es

(Figura 1) = \int \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} = \frac{{metro}^{4} m^{- 2 ε}}{2 (4 π)^{3} ε} {(\frac{4 π m^{2}}{{metro}^{2}})}^{ε} + (F i norte i t mi) .

$(\textbf{Fig. 1})= \int \frac{\mathrm{d}^d p}{(2\pi)^d} \frac{1}{p^2+m^2} =\frac{m^4 \mu^{-2\varepsilon}}{2(4\pi)^3 \varepsilon}\left(\frac{4\pi \mu^2}{m^2}\right)^\varepsilon + (\mathrm{finite})\,.$

A continuación, puede absorber ese polo en $\varepsilon$ en la definición de $Z_L$ para obtener una respuesta finita en el $\mathrm{MS}$ esquema. Tenga en cuenta que si el campo no tiene masa, esta integral desaparece de manera idéntica en dim-reg.

Figura 1

$[1]$ Damiano Anselmi, Renormalización . 14B1

No me queda claro que el "compuesto $\phi(x)^2$ " está significativamente relacionado con lo que normalmente entendemos por la varianza de una variable aleatoria: cuando se define la $\phi^2$ aquí, básicamente está definiendo una nueva regla de multiplicación para los operadores de campo (y una que no es asociativa, por ejemplo, para aprender cómo $\phi(y)^2 \phi(x)^2$ se relaciona con $\phi(x)^4$ como $y\to x$ uno necesita realizar una expansión del producto del operador), y no está claro que la definición estándar de la varianza $\langle (x - \langle x\rangle)^2\rangle$ funciona para un producto tan no estándar. ¿Podrías comentar sobre eso?
mi definición de $\phi^2$ es físicamente lo mismo que dividir puntos: $\lim_{x\to y}\phi(x)\phi(y) - \mathrm{divergence}$ , pero con un esquema diferente de regularización. Además, en la teoría de la perturbación, normalmente los operadores tienen un valor esperado cero en el vacío. Si hay alguna simetría espontánea que se rompe, típicamente uno redefine $\phi(x) = \langle\phi\rangle + \chi(x)$ . Así que creo que la fórmula para la varianza debería funcionar. Por último, con este formalismo puedes escribir operadores compuestos solo de campos fundamentales, por lo que no es realmente una regla de multiplicación. No hay $(\phi^2)^2(x)$

una mente curiosa · Answer 2

No necesita calcular la varianza de un campo escalar para ver que siempre diverge: la expresión $\langle \phi(x)\phi(x)\rangle$ es esencialmente el límite del propagador para $y\to x$ y $\langle \phi(x)\rangle$ es constante porque es un invariante de Lorentz. El propagador debe divergir para $y\to x$ ya que de lo contrario predeciría una probabilidad no unitaria de que una partícula se propague a partir del evento $x$ al evento $x$ , lo cual no tendría sentido.
En la teoría de la interacción, cualquier intento de "cálculo" tendría que proceder calculando el propagador reanudado por Dyson con la precisión deseada y luego tomando el límite $y\to x$ . Que, como se argumentó anteriormente, siempre divergirá, por lo que no tiene sentido intentarlo.
Dato adicional: la falta de definición/divergencia de $\langle \phi(x)^2\rangle$ es un reflejo del hecho de que un campo cuántico es una distribución con valores de operador y no se puede elevar al cuadrado una distribución de una manera matemáticamente rigurosa.

Ah bien. ¿Tiene alguna idea de por qué las fluctuaciones de vacío del campo eléctrico resultan ser finitas en óptica cuántica pero no en QFT? ¿Parece que es porque encuentran la fluctuación del vacío para un solo modo? Aquí está el enlace de un video de 5 minutos de Alain Aspect. youtube.com/watch?v=jXxW82L6os8 No estoy seguro de por qué la fluctuación del vacío de un solo modo es experimentalmente significativa @ACuriousMind
@SRS No utilice comentarios para preguntas de seguimiento. Si tiene una nueva pregunta, haga una nueva pregunta. Tenga en cuenta que el campo eléctrico a) no es un escalar yb) no es un "campo cuántico" (en el sentido de que el valor exponencial de su cuadrado estaría relacionado con un propagador) ya que la variable dinámica del EM Lagrangiano es el potencial , no la intensidad del campo, por lo que no tiene nada que ver con la varianza de un campo cuántico escalar sobre el que hace su pregunta aquí.

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Profesor Legolasov

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En el contexto de la teoría cuántica de campos, ¿qué significa "acoplar" algo?

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¿Por qué la teoría λϕ4λϕ4\lambda\phi^4, donde λ>0λ>0\lambda>0, no está acotada desde abajo?

Reducción de burbujas de vacío y LSZ

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