¿Qué quiere decir la gente con "estado que evoluciona con la teoría de la interacción/libre"?

Question

¿Qué quiere decir la gente con "estado que evoluciona con la teoría de la interacción/libre"?

Física
hamiltoniano
espacio de hilbert
evolución del tiempo
teoría de la matriz s
teoría cuántica de campos

Oro

Esta es una pregunta bastante básica pero confieso que es algo que no entendí hasta este momento.

Al definir los operadores de Moller y por lo tanto el $\cal{S}$ -matriz que normalmente se considera "estados $\Psi$ evolucionando con la teoría de interacción completa" y "establece $\Psi_0$ evolucionando con la teoría libre". A esto se alude en esta respuesta .

Este documento también lo deja claro:

Por lo general, uno está interesado en la superposición del estado de dispersión, es decir, los estados propios verdaderos del hamiltoniano completo . Dado que estos generalmente no están disponibles, uno recurre a los estados descriptores y un operador en tales estados: el $\cal{S}$ matriz - que describe la dispersión y se puede expandir en una serie perturbativa.

Pero seguramente me estoy perdiendo algo aquí. Quiero decir, dada cualquier dinámica $W(t)$ ya sea $U(t)$ o $U_0(t)$ o cualquier otro, podemos evolucionar cualquier estado con él.

Quiero decir, podemos considerar bastante $U_0(t)\Psi$ o $U(t)\Psi_0$ . Esto me hace preguntarme qué quiere decir exactamente la gente con los estados que evolucionan con la teoría de la interacción/libre.

La suposición, a partir de la cita del artículo, es que significan "estados propios del hamiltoniano completo" y "estados propios del hamiltoniano libre".

Pero entonces hay algo mal en mi entendimiento. quiero decir, si $\Psi$ es estado propio del hamiltoniano completo, entonces

H Ψ = mi Ψ

$H\Psi=E\Psi$

y de ahí la evolución $U(t)\Psi$ es trivial, es solo $\Psi(t)=e^{-iE t}\Psi$ y la superposición con cualquier otro estado propio es cero.

Entonces, ¿qué quiere decir la gente con "estados que evolucionan con la teoría interactiva" o "estados que evolucionan con la teoría libre"? Si se trata de los estados propios correspondientes, ¿por qué la evolución no es tan trivial como parece?

¿Es esto porque el hamiltoniano completo depende del tiempo? Pero entonces, para la dispersión potencial con un potencial de Coulomb, por ejemplo, el hamiltoniano es independiente del tiempo $V(\mathbf{R})=g/|\mathbf{R}|$ y parece que la evolución sería realmente trivial.

Claramente me estoy perdiendo algo realmente básico aquí. ¿Qué es? En resumen:

¿Por qué la gente habla de "estados que evolucionan con la teoría de la libre interacción"? ¿No podemos usar cualquier estado como condición inicial para cualquier evolución? $W(t)$ ¿Será libre/interactuando?
¿Cómo se caracterizan estos estados? ¿Son estados propios del hamiltoniano libre/interactivo? Si es así, ¿por qué su evolución no es trivial como se describe en la pregunta?

GK A

¿Puedes ser un poco más claro al respecto?

Oro

@GKA bueno, particularmente creo que la pregunta ya estaba clara. Tratando de hacerlo aún más claro, he agregado los dos principales puntos de duda en oraciones simples al final. Espero que mejore la pregunta.

Respuestas (1)

¿Qué quiere decir la gente con "estado que evoluciona con la teoría de la interacción/libre"?

@GKA bueno, particularmente creo que la pregunta ya estaba clara. Tratando de hacerlo aún más claro, he agregado los dos principales puntos de duda en oraciones simples al final. Espero que mejore la pregunta.

yuggib · Answer 1

En la teoría de la dispersión, a uno le gustaría aproximar, cuando el tiempo es grande, una complicada evolución interactuante con algo más simple, es decir, la evolución libre.

La justificación física básica es la siguiente. Si una interacción está adecuadamente localizada en el espacio, y si se considera una configuración que "se escapa al infinito", es decir, que con el tiempo se aleja mucho de la región donde se está produciendo la interacción, entonces tales configuraciones se comportarán asintóticamente como una teoría libre. pero con un dato inicial en general diferente al original .

Matemáticamente hablando, sea $U(t)$ ser la evolución interactuante, y $U_0(t)$ el libre El objetivo es probar que para todos (o casi todos) $\psi$ , existe $\psi_{\pm}$ (el estado asintótico) tal que

\underset{t \to \pm \infty}{límite} ‖ tu (t) ψ - {tu}_{0} (t) ψ_{\pm} ‖ = 0 .

$\lim_{t\to\pm\infty}\lVert U(t)\psi - U_0(t)\psi_{\pm}\rVert=0\; .$ Si eso es cierto, entonces el complicado sistema descrito por

U (t) ψ

$U(t)\psi$ se puede describir, con una muy buena aproximación si uno espera suficiente tiempo en el futuro o en el pasado, por la evolución más simple

U_{0} (t) ψ_{\pm}

$U_0(t)\psi_{\pm}$ . En este caso decimos que el estado

ψ

$\psi$ se dispersa , con los correspondientes estados asintóticos

ψ_{\pm}

$\psi_{\pm}$ .

Ya que ambos $U_0(t)$ y $U(t)$ son operadores unitarios, lo anterior equivale a decir que

\underset{t \to \pm \infty}{límite} ‖ {tu}_{0} (t)^{*} tu (t) ψ - ψ_{\pm} ‖ = 0 .

$\lim_{t\to\pm\infty}\lVert U_0(t)^*U(t)\psi - \psi_{\pm}\rVert=0\; .$ En otras palabras, esto equivale a estudiar el límite, en la topología fuerte, de

U_{0} (t)^{*} U (t)

$U_0(t)^*U(t)$ (y también, por el contrario, de

U (t)^{*} U_{0} (t)

$U(t)^*U_0(t)$ ).

Hay, sin embargo, estados para los que uno ve inmediatamente que tal convergencia es imposible. Dejar $\psi_\lambda$ ser un vector propio de $U(t)$ : $U(t)\psi_\lambda=e^{-it\lambda}\psi_\lambda$ . Entonces $U_0(t)^*U(t)\psi_\lambda=e^{it(H_0-\lambda)}\psi_\lambda$ , y dicho vector tiene un límite fuerte como $t\to\pm\infty$ si y solo si $\psi_\lambda$ es también un vector propio de $H_0$ con valor propio $\lambda$ . Sin embargo, es físicamente inverosímil que las teorías interactivas y libres que se comparan compartan valores propios y vectores propios comunes y, por lo tanto, uno debería deshacerse de tales vectores propios de $U(t)$ , con el fin de demostrar la fuerte convergencia de $U_0(t)^*U(t)$ (ya que estos estados claramente no se dispersan). Esto generalmente se hace proyectando fuera del espectro de puntos puros de $U(t)$ . Físicamente, esto también significa que para los hamiltonianos con espectro de puntos puros ningún estado se dispersa, y esto se debe a que en este caso los estados no pueden escapar de la región donde hay interacción (los hamiltonianos con espectro de puntos puros describen sistemas atrapados). Lo contrario también es cierto para $U^*(t)U_0(t)$ , pero por lo general la dinámica de referencia libre $U_0(t)$ se elige de tal manera que tenga un espectro puramente continuo (por ejemplo, el hamiltoniano de partículas libres), y por lo tanto no es necesario proyectar fuera del espectro de punto puro, ya que este último está vacío.

Gracias por la respuesta @yuggib. Así que tomamos un estado propio $\Psi_0$ del hamiltoniano libre. Tal estado describe por definición el sistema libre de interacción. Luego definimos los estados que evolucionan con la dinámica de interacción exactamente como aquellos para los que hay estados libres, de modo que se mantiene la identidad límite. En otras palabras, definimos tales estados como aquellos de la forma $\Omega_- \Psi_0$ actuando sobre estados propios del hamiltoniano libre?
@ user1620696 Bueno, en realidad todo lo contrario. Los estados propios (de cualquiera de $H_0$ o $H$ ) son precisamente estados para los que sabemos a priori que no se dispersarán (es decir, para los que falla la aproximación de dispersión). La teoría de la dispersión se realiza precisamente fuera del espectro de puntos puros de ambos $H_0$ y $H$ . Por lo general, sin embargo, $H_0$ no tiene valores propios ni vectores propios y, por lo tanto, se debe tener cuidado de excluir solo los valores propios del hamiltoniano que interactúa $H$ .
La teoría de la dispersión es una teoría de aproximación: el objetivo es aproximar una evolución dada (generalmente complicada) con otra más simple. Esta aproximación solo es válida asintóticamente en el tiempo y "cambia la condición inicial" (en el sentido de que la evolución interactiva de un estado se aproxima a la evolución libre de un estado diferente). Además, la aproximación es válida solo para estados que "escapan" durante mucho tiempo. Y los vectores propios nunca escapan.
lo siento, usé terminología imprecisa, por estado propio del hamiltoniano libre, tenía en mente el impropio $|p\rangle$ , pero no debería haber usado esta terminología porque este no es un verdadero estado propio (ni siquiera es un elemento del espacio de Hilbert). Entonces, su punto es: los estados propios (los verdaderos, correspondientes al espectro de puntos), describen estados vinculados y no se dispersan: el límite no se puede sostener, ya que no pueden verse libres en tiempos asintóticos ya que están vinculados. Por lo tanto, no son adecuados para usar con la aproximación de dispersión. ¿Es ese su punto con respecto a los estados propios?
@ user1620696 sí, este es precisamente mi punto sobre los estados propios.

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