Dependencia del tiempo de hamiltonianos libres e interactivos

Question

Dependencia del tiempo de hamiltonianos libres e interactivos

Física
hamiltoniano
evolución del tiempo
teoría cuántica de campos

Okazaki

Considere una teoría de campos interactivos con hamiltoniano

H = H_{0} + V

$H=H_0+V$

dónde $H_0$ es el hamiltoniano de la teoría libre y $V$ es la interacción añadida. Ahora, conozco el hamiltoniano completo. $H$ debe ser independiente del tiempo. De hecho, de la ecuación de movimiento de Heisenberg tenemos

i \frac{\partial}{\partial t} H = [H, H] = 0

$i\frac{\partial}{\partial t}H=[H,H]=0$

Sin embargo, desde $H$ y $H_0$ generalmente no viajo Debo tener cierta dependencia del tiempo en $H_0$ .

i \frac{\partial}{\partial t} H_{0} = [H_{0}, H] \neq 0.

$i\frac{\partial}{\partial t}H_0=[H_0,H]\neq 0.$

En, por ejemplo, los libros de Weinberg y Peskin & Schroeder, asumen implícitamente la independencia temporal de $H_0$ , es decir, que

\frac{\partial}{\partial t} H_{0} = 0

$\frac{\partial}{\partial t}H_0=0$

al mostrar que el operador

tu (t, t_{0}) = {mi}^{i H_{0} (t - t_{0})} {mi}^{- i H (t - t_{0})}

$U(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)}e^{-iH(t-t_0)}$

satisface la ecuación de Schrödinger:

i \frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0}) = V_{I} (t) tu (t, t_{0}), V_{I} (t) = {mi}^{i H_{0} (t - t_{0})} V {mi}^{- i H_{0} (t - t_{0})}

$i\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=V_I(t)U(t,t_0), \quad V_I(t)=e^{iH_0(t-t_0)}Ve^{-iH_0(t-t_0)}$

Escriben

\frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0}) = - i {mi}^{i H_{0} (t - t_{0})} (H - H_{0}) {mi}^{- i H (t - t_{0})}

$\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=-ie^{iH_0(t-t_0)}(H-H_0)e^{-iH(t-t_0)}$

que es lo que esperaría obtener si tuviera $\frac{\partial}{\partial t}H_0=0$ .

¿Alguien puede decirme dónde me estoy equivocando? Tengo una fuerte sospecha de que esto se reduce a que arruiné las diferencias entre las derivadas de tiempo parcial y las derivadas de tiempo total, así que tal vez debería haberlo hecho.

\frac{\partial}{\partial t} H_{0} = 0, \frac{d}{d t} H_{0} \neq 0

$\frac{\partial}{\partial t}H_0=0, \quad \frac{d}{d t}H_0\neq 0$

Si este es el caso, no estoy seguro de si el eom de Heisenberg debería involucrar una derivada total o parcial (Peskin usa una parcial).

prahar

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg son

i \frac{d}{d t} A = [A, H] + \frac{\partial}{\partial t} A

$i \frac{d}{dt} A = [ A , H ] + \frac{\partial}{\partial t} A$ . P&S supone que no hay una dependencia temporal explícita en

H_{0}

$H_0$ , significado

\frac{\partial}{\partial t} H_{0} = 0

$\frac{\partial}{\partial t} H_0 = 0$ . Esto no significa sin embargo que

f r a c d d t H_{0} = 0

$frac{d}{dt} H_0 = 0$ lo cual es cierto claramente debido a las ecuaciones de Heisenberg.

Okazaki

@Prahar Pregunta directamente relacionada: supongamos que tenemos algo de Noether actual

j^{μ}

$j^\mu$ con

\partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu j^\mu=0$ . Entonces la carga conservada

Q

$Q$ dada por la integral espacial de

j^{0}

$j^0$ satisface

\frac{d Q}{d t} = 0

$\frac{dQ}{dt}=0$ . ¿Por qué esto tiene

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$ cuando fue

\frac{\partial}{\partial t}

$\frac{\partial}{\partial t}$ en la ecuación de continuidad?

prahar

Q (t)

$Q(t)$ no tiene dependencia de ninguna otra variable. Por lo tanto,

\frac{d Q}{d t} = \frac{\partial Q}{\partial t}

$\frac{dQ}{dt} = \frac{ \partial Q}{ \partial t}$ . En la ecuación de continuidad, estás hablando de densidad de carga.

ρ (t, \vec{x})

$\rho(t,\vec{x})$ que depende de múltiples variables, por lo que desea utilizar derivadas parciales.

látigo cuántico

@Okazaki Mi primera sugerencia (sin ver las líneas especificadas en el libro) sería que los cálculos se realizan en la Imagen de Schroedinger, y cada Operador mencionado sería un Operador en la Imagen de Schroedinger. La razón por la que creo que este es el caso es: a) Haría que su cálculo funcione (no detecto ningún error de cálculo de su parte) b) En general, no tiene sentido tomar la exponencial de un operador dependiente del tiempo, si no se especifica en qué momento se evalúa este operador.

Respuestas (1)

Dependencia del tiempo de hamiltonianos libres e interactivos

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg son $i \frac{d}{dt} A = [ A , H ] + \frac{\partial}{\partial t} A$ . P&S supone que no hay una dependencia temporal explícita en $H_0$ , significado $\frac{\partial}{\partial t} H_0 = 0$ . Esto no significa sin embargo que $frac{d}{dt} H_0 = 0$ lo cual es cierto claramente debido a las ecuaciones de Heisenberg.
@Prahar Pregunta directamente relacionada: supongamos que tenemos algo de Noether actual $j^\mu$ con $\partial_\mu j^\mu=0$ . Entonces la carga conservada $Q$ dada por la integral espacial de $j^0$ satisface $\frac{dQ}{dt}=0$ . ¿Por qué esto tiene $\frac{d}{dt}$ cuando fue $\frac{\partial}{\partial t}$ en la ecuación de continuidad?
$Q(t)$ no tiene dependencia de ninguna otra variable. Por lo tanto, $\frac{dQ}{dt} = \frac{ \partial Q}{ \partial t}$ . En la ecuación de continuidad, estás hablando de densidad de carga. $\rho(t,\vec{x})$ que depende de múltiples variables, por lo que desea utilizar derivadas parciales.
@Okazaki Mi primera sugerencia (sin ver las líneas especificadas en el libro) sería que los cálculos se realizan en la Imagen de Schroedinger, y cada Operador mencionado sería un Operador en la Imagen de Schroedinger. La razón por la que creo que este es el caso es: a) Haría que su cálculo funcione (no detecto ningún error de cálculo de su parte) b) En general, no tiene sentido tomar la exponencial de un operador dependiente del tiempo, si no se especifica en qué momento se evalúa este operador.

una mente curiosa · Answer 1

Un observable $A$ es explícitamente dependiente del tiempo si es dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Esta dependencia es lo que queremos decir cuando escribimos $\frac{\partial A}{\partial t}$ . No tiene nada que ver con la imagen de Heisenberg y todo que ver con la forma en que definimos lo observable.

La ecuación de movimiento de Heisenberg para observables explícitamente dependientes del tiempo es

{\frac{d}{d t} A |}_{t = t_{0}} = i [A (t_{0}), H] + {\frac{\partial A}{\partial t} |}_{t = t_{0}}

$\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A\right\vert_{t=t_0} = \mathrm{i}[A(t_0),H] + \left.\frac{\partial A}{\partial t}\right\vert_{t=t_0}$ y así el hamiltoniano libre

H_{0}

$H_0$ tiene

\frac{\partial}{\partial t} H_{0} = 0

$\frac{\partial}{\partial t} H_0 = 0$ pero

\frac{d}{d t} H_{0} \neq 0

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} H_0 \neq 0$ ya que, como usted dice, no conmuta con el hamiltoniano completo que aparece en la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Creo que el signo del conmutador puede ser incorrecto en este
En la teoría de campos, y en P&S, tiendes a trabajar en la imagen de interacción , que es una especie de punto medio entre las imágenes de Heisenberg y Schrödinger. $H=H_0+H_1$ , $A_I=e^{iH_0 t}Ae^{-iH_0 t}$ , y la ecuación para la dependencia del tiempo es una ecuación tipo Heisenberg. $\frac{dA_I}{dt}=i[H_0,A_I,] +\frac{\partial A}{\partial t}$ . Y en este caso $\frac{d}{dt}H_0=0$ , dado que $H_0$ no tiene una dependencia temporal explícita. Sin embargo $\frac{dH_1}{dt}\neq 0$ en general, incluso si $H_1$ no tiene una dependencia temporal explícita.

Dependencia del tiempo de hamiltonianos libres e interactivos

Okazaki

prahar

Okazaki

prahar

látigo cuántico

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una mente curiosa

Estilo clásico

cachonda

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