Como discutió el profesor Wen en el contexto de los órdenes cuánticos de los líquidos de espín , PSG se define como todas las transformaciones que dejan invariante el ansatz de campo medio, IGG es el llamado grupo de calibre invariante formado por todas las transformaciones de calibre que deje el ansatz de campo medio invariante, y SG denota el grupo de simetría habitual (p. ej., simetría de espacio reticular, simetría de inversión de tiempo, etc.), y estos grupos están relacionados de la siguiente manera SG = PSG/IGG , donde SG puede verse como el grupo cociente .
Sin embargo, en matemáticas, el nombre de grupo proyectivo generalmente se refiere al grupo cociente , como el llamado grupo unitario especial proyectivo. , y aquí es de hecho el grupo .
Entonces, físicamente, ¿por qué llamamos al PSG proyectivo en lugar del SG ? Muchas gracias.
Depende de qué grupo considere el punto de partida, y eso depende del contexto.
Un contexto es el matemático (olvida todo lo que sabes sobre giros, etc.) donde comenzamos con el espacio vectorial y la acción natural de en eso. Si observamos el espacio vectorial proyectivo , entonces la acción de es dado por . Como este grupo ahora actúa sobre el espacio vectorial proyectivo, podemos llamarlo grupo proyectivo .
En el contexto físico, en el caso de la simetría de rotación, nuestro grupo inicial no es sino más bien . La forma en que esto actúa en el espacio de Hilbert de un giro partícula es por una buena representación lineal (este es de hecho el mapa de identidad, ya que como usted señala !). Sin embargo, a los físicos no les gusta pensar en espacios de Hilbert proyectivos, por lo que preferimos pensar en nuestra simetría actuando sobre el espacio de Hilbert lineal : . Sin embargo, resulta que lo mejor que puedes hacer es que es una representación proyectiva (lo que significa que la estructura del grupo solo se respeta hasta un escalar complejo). Por lo tanto, se puede decir que cambiamos el espacio proyectivo de Hilbert por una acción grupal proyectiva . Nuevamente, a los físicos no les gusta pensar en representaciones proyectivas, por lo que en su lugar usamos la representación lineal del grupo de cobertura. De hecho, si primero extendemos a entonces puede actuar linealmente en el espacio lineal .
Estoy seguro de que sabes que es por eso que usamos en lugar de , pero quería repasar el razonamiento explícitamente, para demostrar que nuestro grupo de simetría original es , pero dado que usar eso induce "proyectividad" en el camino (ya sea en el espacio o en la forma en que actúa), en su lugar usamos el grupo de simetría extendida , que podemos llamar el grupo de simetría proyectiva de nuestro sistema ya que codifica todas las realizaciones proyectivas de nuestro grupo de simetría original.
En conclusión: no es que un nombre sea mejor que el otro, y tienes razón al notar que no están hablando de lo mismo, es solo que depende del contexto cuando etiquetas la etiqueta ''proyectivo''. En el primer caso lo llamamos grupo proyectivo ya que es la forma en que el grupo original actúa sobre el espacio vectorial proyectivo. En el último caso, podríamos llamar proyectivo al grupo de simetría extendido porque sus representaciones (lineales) corresponden a todas las representaciones proyectivas de nuestro grupo de simetría original.