¿La clasificación del orden topológico (protegido por simetría) para los modelos de 3 bandas es diferente a la de los modelos de dos bandas?

Question

¿La clasificación del orden topológico (protegido por simetría) para los modelos de 3 bandas es diferente a la de los modelos de dos bandas?

Física
topología
teoría de grupos
materia Condensada
aisladores-topologicos

shane p kelly

Estaba leyendo este artículo: https://arxiv.org/abs/1512.08882 en el modo de 10 pliegues que brinda una buena explicación de las posibles fases topológicas para cada una de las clases de simetría. La explicación del ejemplo (en la sección III.B.) para la clase de simetría A (T=S=C=0) parece depender de la banda:

El orden topológico requiere un espacio, pero permite deformaciones continuas. Esto permite romper el hamiltoniano (dimensión N+M) en un momento $k$ en dos conjuntos de estados propios (de dimensión N y M) tales que el primer conjunto tenía energía +1 y el segundo tenía energía -1. Para la clase de simetría A, una transformación válida es parte del grupo de mentiras U(N+M), mientras que una transformación válida que no mezcla bandas es parte de $[U(N)\otimes U(M)]$ . Dado que mezclar estados dentro de una banda no cambia la topología, el orden topológico se clasificó por los grupos de homotopía de $U(N+M)/[U(N)\otimes U(M)]$ .

Si generalizo esto a 3 bandas, el orden topológico se clasificaría por los grupos de homotopía de $U(N+M+L)/[U(N)\otimes U(M)\otimes U(L)]$ . Entonces me quedo con las siguientes preguntas:

¿Son diferentes estos grupos de homotopía?
¿Esto se generaliza a las otras clases de simetría y da nuevos grupos de homotopía?

Sé que para la física del estado fundamental, la tercera banda es irrelevante porque mezclar la segunda y la tercera banda no cambia la topología de la primera banda, pero tal vez en una situación dinámica la restricción de no mezclar las bandas importaría. De todos modos, podríamos guardar la discusión sobre la relevancia física de esta restricción para una pregunta separada.

ruben verresen

Buena pregunta. Esta preimpresión reciente explora esto: arxiv.org/abs/1808.07469 (ver Eq. (8)!). ¡Resulta que ahora uno necesita bucles Wilson no abelianos !

Respuestas (2)

¿La clasificación del orden topológico (protegido por simetría) para los modelos de 3 bandas es diferente a la de los modelos de dos bandas?

Buena pregunta. Esta preimpresión reciente explora esto: arxiv.org/abs/1808.07469 (ver Eq. (8)!). ¡Resulta que ahora uno necesita bucles Wilson no abelianos !

max lein · Answer 1

Esa es una buena pregunta. Sí, la teoría de la clasificación será diferente, pero la respuesta será mucho, mucho más complicada que el método de diez veces. Hay marcos matemáticos (p. ej., el marco teórico K de Freed y Moore) que son lo suficientemente poderosos como para investigar la pregunta que tiene, pero tenga en cuenta que está haciendo una pregunta difícil.

¿Por qué será tan dramáticamente diferente? ¿Todavía no puedes mirar los grupos de homotopía de los grupos de cociente?
El problema no es la definición de homotopía aquí. La razón por la que tiene que usar maquinaria tan pesada como varias teorías K (por ejemplo, torcidas equivariantemente) es que desea poder calcular si dos hamiltonianos específicos están en la misma fase o no. Es por eso que desea poder calcular invariantes topológicos, por ejemplo, porque le permiten decidir si dos hamiltonianos pueden o no estar en la misma fase topológica. Con la definición de homotopía, eso no tiene remedio, a menos que se restrinja aún más a modelos que dependen solo de un número finito de parámetros más o menos.

Tomas Bzdusek · Answer 2

Siguiendo la sugerencia de Ruben (comentó sobre su pregunta anterior) y el hecho de que recientemente apliqué con éxito ideas similares para estudiar las degeneraciones de la estructura de bandas en sólidos cristalinos (ver aquí https://arxiv.org/abs/1808.07469 ), permítanme quizás hacer algunos pensamientos/comentarios sobre sus preguntas (aunque no respondo sus preguntas per se ).

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En primer lugar, los grupos de homotopía que solicita son relativamente fáciles de encontrar. Todo lo que necesita es eso para un espacio coset (o paquete de fibra) $B = E/F$ hay una secuencia exacta larga de grupos de homotopía

\dots \to π_{pag} (mi) \to π_{pag} (B) \to π_{pag - 1} (F) \to π_{pag - 1} (mi) \to \dots .

$\cdots \to \pi_p(E) \to \pi_p(B) \to \pi_{p-1}(F) \to \pi_{p-1}(E) \to \cdots .$ En esta secuencia, cada flecha es un homomorfismo de grupo. La "exactitud" significa que la imagen de cualquier flecha es exactamente igual al núcleo de la siguiente flecha. El "largo" simplemente establece que la secuencia es infinita (o 'semi-infinita' ya que los grupos de homotopía cero terminan la secuencia a la derecha).

En cuanto a su ejemplo, digamos que desea conocer el primer y el segundo grupo de homotopía.

π_{1} [tu ({norte}_{1} + {norte}_{2} + \dots + {norte}_{ℓ}) / tu ({norte}_{1}) \times tu ({norte}_{2}) \times \dots \times tu ({norte}_{ℓ})] \equiv H .

$\pi_1[U(N_1+N_2+\ldots + N_\ell)/U(N_1)\times U(N_2)\times \ldots \times U(N_\ell)] \equiv H.$

π_{2} [tu ({norte}_{1} + {norte}_{2} + \dots + {norte}_{ℓ}) / tu ({norte}_{1}) \times tu ({norte}_{2}) \times \dots \times tu ({norte}_{ℓ})] \equiv GRAMO .

$\pi_2[U(N_1+N_2+\ldots + N_\ell)/U(N_1)\times U(N_2)\times \ldots \times U(N_\ell)] \equiv G.$ Por supuesto, se supone que cada

N_{i} \geq 1

$N_i \geq 1$ .

Para encontrarlo, primero no que el segundo grupo de homotopía

π_{2} [tu ({norte}_{1} + {norte}_{2} + \dots + {norte}_{ℓ})] = 0

$\pi_2[U(N_1+N_2+\ldots + N_\ell)] = \mathbb{0}$ es trivial (como es cierto para todos los grupos de Lie). Además, encontramos

π_{1} [tu ({norte}_{1}) \times tu ({norte}_{2}) \times \dots \times tu ({norte}_{ℓ})] = π_{1} [tu ({norte}_{1})] \oplus π_{1} [tu ({norte}_{2})] \oplus \dots \oplus π_{1} [tu ({norte}_{ℓ})] = Z^{ℓ}

$\pi_1[U(N_1)\times U(N_2) \times \ldots \times U(N_\ell) ] = \pi_1[U(N_1)]\oplus \pi_1[U(N_2)] \oplus \ldots \oplus \pi_1[U(N_\ell)]= \mathbb{Z}^\ell$ donde cada uno

Z

$\mathbb{Z}$ cuenta el devanado del

U (1)

$U(1)$ fase del determinante de la correspondiente

U (N_{i})

$U(N_i)$ . También tenemos que usar eso

π_{1} [U (N_{1} + N_{2} + \dots + N_{ℓ})] = Z

$\pi_1[U(N_1+N_2 + \ldots + N_\ell)] = \mathbb{Z}$ , también. Finalmente, dado que el grupo unitario como variedad está conectado por caminos, su grupo de homotopía cero es trivial.

El segmento relevante de la sucesión exacta larga, comenzando con $\pi_2(E)$ y terminando con $\pi_0(E)$ , lleva a

\dots \overset{φ_{a}}{⟶} 0 \overset{φ_{b}}{⟶} GRAMO \overset{φ_{C}}{⟶} Z^{ℓ} \overset{φ_{d}}{⟶} Z \overset{φ_{mi}}{⟶} H \overset{φ_{F}}{⟶} 0 \overset{φ_{gramo}}{⟶} \dots

$\ldots \stackrel{\varphi_a}{\longrightarrow} \mathbb{0} \stackrel{\varphi_b}{\longrightarrow} G \stackrel{\varphi_c}{\longrightarrow} \mathbb{Z}^{\ell} \stackrel{\varphi_d}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \stackrel{\varphi_e}{\longrightarrow} H \stackrel{\varphi_f}{\longrightarrow} \mathbb{0} \stackrel{\varphi_g}{\longrightarrow} \ldots$ donde le di algunos nombres al grupo de homomorfismos. Claramente, la imagen

im φ_{b} = 0

$\textrm{im}\, \varphi_b = \mathbb{0}$ es trivial, tal que por exactitud también el núcleo

ker φ_{c} = 0

$\textrm{ker}\,\varphi_c = \mathbb{0}$ . Además, para cualquier homomorfismo de grupo

φ : G_{1} \to G_{2}

$\varphi:G_1\to G_2$ hay un isomoprismo

im φ ≅ G_{1} / ker φ

$\textrm{im}\,\varphi \cong G_1/\textrm{ker}\,\varphi$ , por lo que deducimos

im φ_{c} = G = ker φ_{d}

$\textrm{im}\,\varphi_c = G = \textrm{ker}\,\varphi_d$ , donde en la última marca de ecuación usamos la exactitud nuevamente. Una flecha más allá encontramos

ker φ_{e} = Z^{ℓ} / G

$\textrm{ker}\,\varphi_e = \mathbb{Z}^\ell/G$ . Por otro lado, moviéndonos desde la derecha podemos encontrar de manera similar

im φ_{e} = H

$\textrm{im}\,\varphi_e = H$ . Por complementariedad de la imagen y el núcleo de

φ_{e}

$\varphi_e$ , obtenemos

(Z^{ℓ} / GRAMO) \oplus H = Z .

$(\mathbb{Z}^\ell / G) \oplus H = \mathbb{Z}.$ Hay más de una solución para esta ecuación. Pero con un poco de conocimiento de la física, podemos adivinar la correcta:

H = 0 y GRAMO = Z^{ℓ - 1} .

$H = \mathbb{0}\qquad\textrm{and}\qquad G = \mathbb{Z}^{\ell-1}.$

¿Qué es la percepción de la física? Cada una de las $N_i$ -plets de bandas lleva un número entero de Chern. Sin embargo, la suma de todos los números de Chern debe ser cero, por lo tanto, solo $\ell-1$ de los números de Chern son independientes.

La implicación para los nodos de estructura de bandas en la zona de Briollouin 3D (BZ) sería la siguiente. El $\ell$ $N_i$ -Plets de bandas están separados por $\ell-1$ brechas de banda. El $\ell-1$ cargas enteras en alguna esfera $S^2 \subset \textrm{BZ}$ , correspondiente al segundo grupo de homotopía $\pi_2(...) = \mathbb{Z}^{\ell-1}$ , simplemente diga la quiralidad total de los puntos de Weyl formados dentro de cada uno de estos espacios de banda, que están contenidos dentro del $S^2$ .

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En segundo lugar, permítanme comentar sobre el significado de tales cargas topológicas. En la clasificación de diez veces, uno mira el llamado límite estable de los grupos de homotopía. Existe una buena motivación física para considerar el límite estable, pero dicho límite no tiene sentido físico para las cargas topológicas sobre las que pregunta.

Permítanme explicar primero el caso "convencional" de límite estable en un ejemplo simple. Digamos que hay una simetría (como la composición de inversión espacial + inversión de tiempo, y sin acoplamiento de giro-órbita, vea más aquí https://arxiv.org/abs/1705.07126 ), lo que obliga a hamiltoniano a ser una matriz simétrica real . Entonces el espacio de hamiltonianos es el real grassmaniano $O(N+M)/O(N)\times O(M)$ , en lugar de la compleja. Se puede demostrar fácilmente que para dos bandas ocupadas y una desocupada

π_{2} [O (3) / O (2) \times O (1)] = Z,

$\pi_2[O(3)/O(2)\times O(1)] = \mathbb{Z},$ mientras que para un número suficiente de bandas (es decir, el límite estable)

\underset{norte, METRO \to \infty}{límite} π_{2} [O (norte + METRO) / O (norte) \times O (METRO)] = Z_{2}

$\lim_{N,M\to\infty}\pi_2[O(N+M)/O(N)\times O(M)] = \mathbb{Z}_2$ es decir, se vuelve más pequeño.

Esta disparidad implica que los modelos de tres bandas pueden exhibir alguna obstrucción topológica, que puede desenredarse trivialmente si se permite la hibridación con bandas adicionales. Dado que en los sólidos hay innumerables bandas disponibles a energías suficientemente grandes, cada una de las cuales podría, al menos en principio, llevarse a las tres bandas e hibridarse con ellas, la obstrucción topológica de tres bandas es frágil (es decir, opuesta a estable ) . Es por eso que a menudo es conveniente usar $K$ -métodos teóricos para encontrar la obstrucción topológica, ya que esos métodos son naturalmente susceptibles al límite estable.

Sin embargo, la noción de límite estable de una partición de bandas de tres componentes, $N_1 + N_2 + N_3$ , no parece muy significativo en la física del estado sólido. Podría conjurar bandas adicionales con energía positiva muy grande o energía negativa muy grande (es decir, dentro de los dos componentes exteriores de la partición), pero no puede simplemente chasquear los dedos y crear mágicamente una banda adicional en el medio (la partición central). Por lo tanto, me parece que el límite estable no está físicamente disponible aquí.

Por otro lado, mientras los tres grados de libertad estén débilmente acoplados a todos los demás grados de libertad, el frágil $\mathbb{Z}$ la carga/obstrucción es inamovible (por ejemplo, implicaría la ausencia de un límite atómico consistente en orbitales de Wannier exponencialmente localizados). Entonces, bajo circunstancias especiales, tiene un impacto real en la topología de la estructura de la banda.

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Finalmente, permítanme comentar brevemente el caso real, que en realidad analizamos de manera similar en el trabajo https://arxiv.org/pdf/1808.07469 (suplemento en https://arxiv.org/src/1808.07469v1/anc/supplement .pdf ). Consideramos el caso extremo $O(N)/O(1)\times O(1)\times\ldots \equiv M_N$ . Resulta que el primer grupo de homotopía $\pi_1(M_N)$ no es abeliano (¡incluso en sistemas que no interactúan!), y es igual al grupo cuaternión

q = {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}

$Q = \{\pm 1,\pm\mathrm{i},\pm\mathrm{j},\pm\mathrm{k}\}$ para

N = 3

$N=3$ bandas. El carácter no conmutativo del primer grupo de homotopía implica reglas de intercambio no triviales (o 'trenzado') para las degeneraciones de la estructura de bandas en el espacio de momento. Por ejemplo, plantea restricciones estrictas sobre las composiciones de líneas nodales admisibles en 3D. En nuestro trabajo, argumentamos que estas reglas de intercambio no triviales sobreviven incluso en el límite

N \to \infty

$N\to\infty$ , y son muy fáciles de formular.

Entonces, definitivamente se puede aprender algo útil usando las consideraciones que sugirió en su pregunta, aunque la noción de límite estable es bastante oscura.

¿La clasificación del orden topológico (protegido por simetría) para los modelos de 3 bandas es diferente a la de los modelos de dos bandas?

shane p kelly

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