¿Simetría del modelo de Heisenberg anisotrópico 2d?

Respuesta corta

Sí, el grupo de simetría es más grande entonces.$\Bbb{Z}_2$y es$\mathbf{k_4\cong \Bbb{Z}_2 \times \Bbb{Z}_2}$. Pero los estados fundamentales sólo están relacionados por$\Bbb{Z}_2$y es esta simetría la que se rompe en la ruptura espontánea de la simetría.

Respuesta larga

Veamos los grupos de simetría individuales mencionados en la pregunta y sus generadores:

• Rotación sobre$z$eje por$\pi$: Esto tiene un solo generador dado por: $$\pi_z=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &-1\end{pmatrix}$$
• Reflexión sobre$xz$plano: Este tiene un solo generador dado por: $$R_y=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1\end{pmatrix}$$
• Reflexión sobre$yz$plano: Este tiene un solo generador dado por: $$R_x=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &1\end{pmatrix}$$

Tenga en cuenta que desde$R_x=\pi_z R_y=R_y \pi_z$el grupo de simetría total viene dado por:

Ahora notamos que los estados fundamentales (por ejemplo, todos los giros en el$+x$o$-x$dirección) están relacionados por el generador$\pi_z$y así el grupo$\langle \pi_z\rangle \cong \Bbb{Z}_2$. Mientras que el generador$R_2$deja los estados fundamentales invariantes. Así es esto$\langle \pi_z\rangle \cong\Bbb{Z}_2$de lo que probablemente esté hablando lo anterior. Podríamos igualmente ver este grupo como generado por las rotaciones$R_x$ya que estos están relacionados por una transformación que deja invariantes los estados fundamentales, a saber$R_y$.

Como nota al margen simetría espontánea el generador$\pi_z$(o$R_x$) se rompe dejando el sistema con una simetría$\langle R_y \rangle \cong \Bbb{Z}_2$.