¿Cuál es la(s) implicación(es) física(s) del isomorfismo entre SO(2)SO(2){\rm SO}(2) y R/ZR/Z\mathbb{R}/\mathbb{Z}?

En$d\ge 3$, el primer grupo de homotopía de$\mathrm{SO}^+(1,d)$es$\mathbb Z_2$, que esencialmente conduce a la cuantificación de espín. En$d=2$, y debido a$\mathrm{SO}(2)\sim\mathbb R/2\pi\mathbb Z$, tenemos$\pi_1(\mathrm{SO}^+(1,d))=\mathbb Z$, y por lo tanto ya no tenemos cuantización de espín. Las partículas ya no se clasifican en bosones frente a fermiones, pero pueden tener alguna estadística. Podemos encontrar anyons , que conducen a una fenomenología muy rica (piense en el efecto Hall cuántico fraccional, etc.).

Recuerde que el giro proviene de las representaciones proyectivas del pequeño grupo, a saber,$\mathrm{SO}(d)$. A diferencia de las dimensiones superiores, en$d=2$tenemos eso$\mathrm{Spin}(d)$no es la cobertura universal de$\mathrm{SO}(d)$; Por supuesto,$\widehat{\mathrm{SO}}(2)=\mathbb R$, que no es compacto. Por lo tanto, ya no necesitamos$U(4\pi)=1$, por lo que el espín ya no es un medio entero. ¡Divertida!

La distinción entre los grupos$\mathbb R$y$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$es topológico, por lo tanto, es relevante en los aspectos topológicos de las teorías de campo.

Un ejemplo clásico de un sistema bidimensional (espacial) donde este material es importante es el modelo Abelian-Higgs que aparece en la física de la materia condensada (no relativista) y la física de alta energía (relativista). Consiste básicamente en una teoría de campo gauge con álgebra de simetría local$\mathfrak u(1)$y calibre la simetría rota espontáneamente al elemento de identidad$e$por un campo escalar complejo (Higgs). Si el grupo de simetría de norma es$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$entonces las configuraciones estáticas de energía finita proporcionan mapas$\phi:S^1\rightarrow S^1$desde el círculo en el infinito hasta el colector de vacío$SO(2)/e\cong SO(2)\cong S^1$, que es otro círculo. El grupo fundamental del segundo círculo,$\pi_1(S^1)$, no es trivial: como cubrimos el primer círculo una vez, la imagen puede cubrir el segundo círculo$n$veces, teniendo por lo tanto número de vueltas $n$. Los mapas con diferente número de vueltas no se pueden deformar continuamente entre sí, no son homomórficos. Se dice que todos los mapas homomórficos están en la misma clase de equivalencia y están asociados a un elemento del grupo fundamental. Por lo tanto$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$. La implicación física de todo esto es sencilla: dado que los mapas con diferentes números de devanado no son homomórficos, el campo escalar asociado no puede descomponerse entre sí. Esto da lugar a configuraciones estables como vórtices que se verifican experimentalmente en superconductividad, en forma de líneas de vórtice de Abrikosov y se predicen en las Grandes Teorías Unificadas como cuerdas cósmicas.lo que puede tener implicaciones cosmológicas como en la formación de galaxias. También puede ser relevante en el problema del confinamiento de quarks, donde las configuraciones topológicas se denominan tubos de flujo (nótese que en los tres ejemplos, la configuración se extiende en otra dimensión espacial pero toda la relevancia topológica está en la sección bidimensional). Por otro lado, si solo cambiamos la topología del grupo de indicadores, diciendo que es$\mathbb R$, luego veremos las configuraciones asociadas a$\phi:S^1\rightarrow \mathbb R$. Pero como todas las curvas cerradas en$\mathbb R$pueden reducirse a punto, todos ellos son homomórficos, es decir$\phi(\mathbb R)= e$. Físicamente, esto significa que todas las configuraciones pueden decaer en el vacío, por lo que no hay vórtices estables.

Si desea leer una buena introducción sobre soluciones topológicas en teoría de campos, incluidas discusiones sobre grupos de homotopía, el modelo Abelian-Higgs y vórtices, puede consultar el capítulo 3 (en la sección especial 3.3) de Cuerdas cósmicas y otros defectos topológicos de Vilenkin y Shellard .