¿Por qué el conjunto subyacente de un modelo debe ser un conjunto?

En lógica (especialmente en teoría de modelos y teoría de conjuntos), uno define un modelo A para una firma dada S estar dado por un conjunto subyacente A y alguna estructura adicional (con lo que quiero decir: para cada símbolo constante en S un elemento de A , para cada norte -símbolo de función aria en S Una función A norte → A , etcétera). En la teoría de conjuntos, a menudo se consideran modelos que satisfacen algunos axiomas de la teoría de conjuntos (a menudo se toma ZFC); estos modelos tienen la forma ( V , ∈ ) , dónde V se llama universo y ∈ una relación binaria en V .

Me parece filosóficamente insatisfactorio que los universos de teoría de conjuntos deban ser conjuntos , ya que dentro de un universo de teoría de conjuntos que satisface ZFC, este universo piensa que es una clase adecuada, si sabes a lo que me refiero.

¿Por qué uno no permite que los modelos/universos sean clases adecuadas?

¿Por qué los universos de teoría de conjuntos son conjuntos?

Esta respuesta puede ser relevante para su pregunta: math.stackexchange.com/a/1368646/630
Me pregunto si esta pregunta es un duplicado de math.stackexchange.com/q/56726/630 . No estoy votando en este momento, a ver si otros están de acuerdo.
@Carl No creo que sea un duplicado de esa pregunta.
@CarlMummert Definitivamente muy relacionado. Sin embargo, la otra pregunta parece en parte no comprender cómo una teoría de conjuntos puede tener un modelo, y es más específica para la teoría de conjuntos. Esta pregunta es más sobre por qué insistimos en que los modelos se establezcan de manera más general.

Respuestas (1)

Una de las razones es que el Z F C los axiomas no están equipados para manejar clases adecuadamente. Por ejemplo Z F demuestra que todos los axiomas de Z F C mantener en el modelo interior L , que es una clase adecuada. Pero no podemos definir una definición de verdad para esa clase, ya que violaría el teorema de Tarski. Y la prueba de que todos los axiomas se mantienen L no es una sola prueba, sino un esquema de pruebas.

Claro, podemos manejar algunos modelos de clase relativamente bien (por ejemplo, los números surrealistas, que tienen una teoría relativamente simple), pero ¿hablando de manera arbitraria? Queremos que nuestra teoría fundamental tenga acceso a la definición de verdad de una estructura. De lo contrario, ¿qué tipo de fundamento nos proporciona la teoría?

Si te fijas, casi todas las afirmaciones sobre los modelos de clase de la teoría de conjuntos son afirmaciones metateóricas .

Sí, podríamos usar teorías de clases como k METRO (Kelley-Morse) y norte B GRAMO (von Neumann-Goedel-Bernays), y esto podría permitirnos extender el alcance de las definiciones de verdad para varios modelos de clase; pero ciertamente no para todo el universo, ya que eso contradiría el teorema de Tarski sobre la indefinibilidad de la verdad. Entonces, el universo de la teoría de conjuntos será, esencialmente, siempre una clase interna.

Gracias. Pero ya no entiendo tu primera oración: ¿no son suficientes los axiomas de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley para manejar clases?
Un poco. Y de hecho en MK podemos definir el predicado de verdad para la clase de conjuntos con ∈ . Sin embargo, esto nos cuesta, ya que significa que hay una colección de números naturales que es una clase adecuada.
@AsafKaragila ¿Podría dar más detalles sobre su último comentario?
@Rene: Puede leer la publicación de blog de Joel Hamkins sobre el tema aquí: jdh.hamkins.org/km-implies-conzfc
@Asaf: Gracias, creo que poco a poco entiendo su punto de que ZFC es nuestra teoría fundamental que se ha "establecido" como la noción de colección de objetos. Entonces, si queremos hablar de una "colección de objetos", usaremos "set" por defecto. Pero si queremos ir un paso más allá y hablar de nuestro propio universo de "colecciones"/"conjuntos", tenemos que usar otro término ("clase").
@Treppe: Sí, exactamente.
@AsafKaragila Bueno, le di al blog de Hamkins una mirada superficial (menos de lo que se merece), parece que define un conjunto S utilizando la teoría de clases de segundo orden y luego muestra que S = norte .
@Rene: Creo que estabas mirando en el lugar equivocado. La idea general es que ahora el teorema de reflexión de Levy-Montague no es un metateorema, sino más bien un teorema, cuando se aplica a declaraciones que involucran solo conjuntos. Entonces, en particular, obtienes una definición uniforme para un predicado de verdad. Este es el mismo truco que probar que en la aritmética completa de segundo orden podemos definir un predicado de verdad de primer orden.
¿"Una colección de números naturales que es una clase propia"? ¿No tiene MK, como NBG, la regla de que la intersección entre un conjunto y una clase es un conjunto? (Eso es lo que obtuve de la breve descripción de Mendelson. De todos modos).
@Henning: creo que tiene razón (al menos si incluye la "Limitación de tamaño" que aparece en las entradas de Wikipedia). Entendí mal algunas cosas. Mi punto, sin embargo, es que la definición de verdad es accesible como una clase, no como un conjunto. En el sentido de que cada definición libre de parámetros para ese conjunto tiene que apelar a las clases adecuadas.
@AsafKaragila: Ni siquiera es una limitación de tamaño. colocar ∩ clase = colocar es simplemente cómo se ve el Axioma de Separación en NBG. Creo que el punto real aquí es que MK puede definir la verdad para solo fórmulas donde todos los cuantificadores están restringidos a conjuntos (es decir, el lenguaje de ZFC), mientras que MK todavía no puede definir la verdad para su propio lenguaje completo . Entonces, visto desde MK, un modelo de clase de ZFC sigue siendo una noción restringida de la misma manera que considerar solo modelos establecidos dentro de ZFC es una noción restringida.
@Henning: Eso depende de la axiomatización. Y sí, tiene razón en que Kelley-Morse todavía no proporciona una definición de verdad para su propio modelo completo.
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