¿Qué fórmula de ZFC define el conjunto de los números naturales?

Usted escribe:

Como no puede haber una axiomatización recursiva de$Th(\mathbb{N})$- siempre que$\mathbb{N}$es verdaderamente el conjunto de números naturales - no puede haber fórmula$\varphi$caracterizando de forma única$\mathbb{N}$(hasta el isomorfismo).

Esto es incorrecto. A grandes rasgos, lo que podemos decir es que$\mathsf{ZFC}$ (siendo recursivamente axiomatizable) no debe ser capaz de resolver todas las preguntas sobre$\varphi$. Pero esto no tiene nada que ver con$\mathsf{ZFC}$demostrando que exactamente una cosa satisface$\varphi$existe o esa cosa que corresponde apropiadamente a$\mathbb{N}$. Por ejemplo,$\mathsf{ZFC}$también prueba "Hay exactamente un conjunto$x$cual es$\emptyset$si y si$\mathsf{CH}$sostiene y es$\{\emptyset\}$si y si$\mathsf{CH}$falla", sin resolver la cuestión de si este objeto único está vacío.

Hay varios sentidos en los que$\mathbb{N}$es "difícil de precisar" y varios otros sentidos en los que$\mathbb{N}$es "fácil de precisar"; debe tener mucho cuidado con el sentido que se usa al aplicar un teorema dado.

Argumentaré que ambos están equivocados.

Primero, la declaración

Como no puede haber una axiomatización recursiva de$Th(\mathbb{N})$... no puede haber fórmula$\phi$caracterizando de forma única$\mathbb{N}$(hasta el isomorfismo)

Esto está sutilmente mal. No puede haber una fórmula de primer orden en el lenguaje de$\mathbb{N}$donde todos los cuantificadores se extienden sobre$\mathbb{N}$que caracteriza de manera única$\mathbb{N}$.

Pero puede haber una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que caracterice únicamente$\mathbb{N}$. Dejar$\psi(v) := (\exists e . e \in v \land \forall y . \neg (y \in e)) \land \forall e . e \in v \to \exists k . k \in v \land \forall u . u \in k \iff (u = e \lor u \in e)$. Entonces deja$\phi(v) := \psi(v) \land \forall u . \psi(u) \to \forall x . x \in v \to x \in u$. El axioma de infinito nos permite probar$\exists! v . \phi(v)$. Esto es lo que nos permite definir$\mathbb{N}$como extensión de la definición.

Por lo tanto, B está mal. ZFC tiene una noción del "conjunto de números naturales" y puede extenderse por definición para incluir dicho conjunto, como se vio anteriormente.

Sin embargo, A está potencialmente equivocado en el sentido de que A supone que el conjunto$\mathbb{N}$, definido en ZFC, tiene algo que ver con los "números naturales reales". Si ZFC fuera inconsistente, entonces ZFC probaría afirmaciones como "$0 = 1$(interpretado adecuadamente en$\mathbb{N}$). Incluso si ZFC es consistente, ¿cómo sabemos que todas las declaraciones que prueba sobre$\mathbb{N}$son realmente ciertas acerca de los números naturales reales? sabríamos que todo$\Pi_1$afirmaciones que prueba sobre$\mathbb{N}$en realidad se cumplen, pero no necesariamente sabríamos que todas las declaraciones de primer orden probaron sobre$\mathbb{N}$son en realidad verdad.

Si adoptamos una lógica constructiva y aceptamos principios como "todas las funciones son recursivas", entonces podemos llegar a afirmaciones específicas sobre$\mathbb{N}$que prueba ZFC (como "para cada función unaria recursiva general$f$, cualquiera$f(0)$existe o$f(0)$no existe") pero que en realidad no son ciertas sobre los números naturales.