Expansión de un operador de campo de Majorana en operadores de creación y aniquilación

Question

Expansión de un operador de campo de Majorana en operadores de creación y aniquilación

Física
espinores
majorana-fermiones
teoría cuántica de campos

Federico Tomás

Un espinor de Dirac $\Psi=\left(\begin{array}{c}\chi_\alpha\\\psi^\dot{\alpha}\end{array} \right)$ se puede ampliar de la siguiente manera: $\Psi=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{1}{2E_p}} \sum_s\left( u_s(p)a_{s p} \exp(-ipx) + v_s(p) b^{\dagger}_{s p} \exp(ipx) \right)$ .

en especial tenemos $v(p) = u(p)^c$ dónde $x^c$ significa la expresión de carga conjugada de $x$ .

Siempre me preguntaba cómo se expandiría un espinor de Majorana de manera similar. En realidad, encontré que esta expansión es un ejercicio en el libro de Peskin & Schroeder, ejercicio 3.4(e). Además, incluso encontré soluciones en Internet "publicadas" por Zhong-Zhi Xianyou. Afirma que un 2-dim. Majorana spinor podría expandirse en operadores de creación y aniquilación de la siguiente manera ( $\xi_s$ deben ser los componentes de espín de algunos 2-dim. espinor)

$\chi(x) =\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{p\cdot \sigma}{2E_p}} \sum_s\left[\xi_s a_{s p}\exp(-ipx) + (-i\sigma^2)\xi^{*}_s a^{\dagger}_{s p}\exp(ipx)\right]$

Sin embargo, no puedo entenderlo. En realidad, tengo la impresión de que $\xi_s$ y $(-i\sigma^2)\xi^{*}_s$ no se transforme de la misma manera bajo las transformaciones de Lorentz. $\xi\equiv \xi_\alpha$ parece transformarse como Weyl-spinor normal, mientras que $(-i\sigma^2)\xi^{*}_s \equiv \xi^\dot{\alpha}$ parece transformarse como un Weyl-spinor punteado, pero se suman ambos en la misma expresión, lo que confundiría las propiedades de transformación.

De acuerdo con el apéndice E en el libro de A.Zee, un espinor de 4-Dirac conjugado con carga tiene la siguiente forma: $\Psi^c=\left(\begin{array}{c}\psi_\alpha\\\chi^\dot{\alpha}\end{array} \right)$ Si aplico esta representación en $u(p)$ , luego con $v(p)=u(p)^c$ Obtengo el comportamiento correcto de $v(p)$ bajo transformaciones de Lorentz. Ambos componentes superiores de $u(p)$ y $v(p)$ son espinores de Weyl sin puntos, mientras que los dos componentes inferiores son espinores de Weyl con puntos. Entonces, para la expansión del Dirac-spinor no hay contradicción (¡por supuesto que no!). A partir de esto estuve tentado de escribir mi propia expresión para $\chi(x)$ , pero finalmente me di cuenta de que $u$ y $v$ siguen siendo soluciones de la ecuación de Dirac, por lo tanto, la relación para Majorana-spinors $v(p)$ = $u^c(p)$ = $u(p)$ es un atajo incorrecto. Entonces, en este punto, no sé continuar. alguien me puede ayudar? Gracias.

prahar

Un espinor de Majorana tiene la forma

Ψ = (\begin{matrix} χ_{α} \\ {\bar{χ}}^{\dot{α}} \end{matrix})

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_\alpha \\ {\bar \chi}^{\dot \alpha} \end{pmatrix}$ o en otras palabras

ψ_{α} = χ_{α}

$\psi_\alpha = \chi_\alpha$ . Así que simplemente tome la expansión de modo que tiene para el espinor de Dirac e imponga la restricción anterior en

u_{s}

$u_s$ y

v_{s}

$v_s$ y tendrás el modo expansión del espinor de Majorana.

Federico Tomás

@Prahar: Gracias, le agradecería si pudiera decir un poco más sobre cómo obtener la expansión del modo correcto.

Respuestas (2)

Expansión de un operador de campo de Majorana en operadores de creación y aniquilación

Un espinor de Majorana tiene la forma $\Psi = \begin{pmatrix} \chi_\alpha \\ {\bar \chi}^{\dot \alpha} \end{pmatrix}$ o en otras palabras $\psi_\alpha = \chi_\alpha$ . Así que simplemente tome la expansión de modo que tiene para el espinor de Dirac e imponga la restricción anterior en $u_s$ y $v_s$ y tendrás el modo expansión del espinor de Majorana.
@Prahar: Gracias, le agradecería si pudiera decir un poco más sobre cómo obtener la expansión del modo correcto.

Moshi.Roy · Answer 1

La forma más rápida de llegar a la expansión de $\chi(x)$ es continuar lo que comenzaste como sugirió @Prahar. Tome un campo Majorana de 4 componentes $\psi(x)$ con la condición de Majorana [ $a_{s}(p)=b_{s}(p)$ ] y aplique el proyector quiral izquierdo $P_L$ o tomar el componente quiral izquierdo $\chi_\alpha$ . Escribir $u_s(p)$ y $v_s(p)$ de acuerdo con Peskin, ecuaciones (3.50) y (3.62), y extraer la componente quiral izquierda, es decir, las dos primeras componentes. Esto lleva a la expansión de su pregunta. Cuidado con elegir $\xi^s$ y $\eta^s$ para que la convención $u_s^c(p)=v_s(p)$ Está satisfecho; no es automatico

Ahora, acerca de su impresión de que $i\sigma_2\xi_s^*$ se está transformando de manera incorrecta bajo Lorentz, estás olvidando el factor $\sqrt{p\cdot\sigma}$ Al frente. Este factor realiza el impulso en el $p$ dirección y establece el comportamiento de la transformación de Lorentz: ambos espinores quedan quirales. los espinores $\xi_s$ y $i\sigma_2\xi_s^*$ define la dirección de giro en el marco de descanso y $i\sigma_2(~)^*$ simplemente cambia el giro como inversión del tiempo en la mecánica cuántica. Para simplificar, puede utilizar el $z$ -dirección y girar hacia arriba y hacia abajo para $\xi_s$ .

Esta es una respuesta genial. Solo para confirmar mi comprensión, entonces el impulso de Lorentz actúa sobre $\sqrt{p\cdot\sigma}$ mientras que una rotación asociada actuaría sobre $\xi_s$ y $i\sigma_2 \xi_s^{\ast}$ . ¿Está bien? También es interesante observar que la partícula Majorana creada aparentemente tiene un giro opuesto al de la partícula aniquilada.
La declaración correcta sería "Lorentz boost actúa efectivamente como $\sqrt{p\cdot\sigma}$ ". Todo el espinor de frecuencia positiva es $\sqrt{p\cdot\sigma}\xi_s$ que se construye siguiendo la idea: tomar un espinor en reposo con una dirección de giro específica y impulsarlo en el $p$ dirección. Es este espinor el que se transforma de manera específica bajo Lorentz.

Nombre AAAA · Answer 2

"...parece transformarse como un Weyl-spinor punteado, pero se suman ambos en la misma expresión, lo que mezclaría las propiedades de transformación..."

supongamos que $\left( 1/2, 0\right)$ Transformación de Lorentz

ψ_{a} \to {(Exp [\frac{σ_{m v} ω^{m v}}{2}] ψ)}_{a}, con σ_{m v} = - \frac{1}{4} (σ_{m} {\tilde{σ}}_{v} - σ_{v} {\tilde{σ}}_{m}),

$\psi_{a} \to \left(\text{exp}\left[ \frac{\sigma_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu}}{2}\right]\psi\right)_{a}, \quad\text{with}\quad \sigma_{\mu\nu} = -\frac{1}{4}(\sigma_{\mu}\tilde{\sigma}_{\nu} - \sigma_{\nu}\tilde{\sigma}_{\mu}),$ dónde

σ_{m} = (1, σ), {\tilde{σ}}_{m} = (1, - σ)

$\sigma_\mu = (1, \sigma), \quad \tilde{\sigma}_\mu =(1,-\sigma)$ Entonces el espinor

(σ_{2} ψ^{*})_{a}

$(\sigma_{2}\psi^{*})_{a}$ se transforma como

(σ_{2} ψ^{*})_{a} \to {(σ_{2} Exp [\frac{σ_{m v}^{*} ω^{m v}}{2}] ψ^{*})}_{a} = {(Exp [σ_{2} σ_{m v}^{*} σ_{2} \frac{ω^{m v}}{2}] σ_{2} ψ^{*})}_{a}

$(\sigma_{2}\psi^{*})_{a} \to \left(\sigma_{2}\text{exp}\left[\frac{\sigma^{*}_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu}}{2}\right]\psi^{*}\right)_{a} = \left(\text{exp}\left[\sigma_{2}\sigma_{\mu\nu}^{*}\sigma_{2}\frac{\omega^{\mu\nu}}{2}\right] \sigma_{2}\psi^{*}\right)_{a}$ Pero con la regla

σ_{μ}^{*} = - σ_{2} σ_{μ} σ_{2}

$\sigma_{\mu}^{*} = -\sigma_{2}\sigma_{\mu}\sigma_{2}$ ,

{\tilde{σ}}_{μ}^{*} = - σ_{2} {\tilde{σ}}_{μ} σ_{2}

$\tilde{\sigma}_{\mu}^{*} = -\sigma_{2}\tilde{\sigma}_{\mu}\sigma_{2}$ la transformación no es más que

(σ_{2} ψ^{*})_{a} \to {(Exp [\frac{1}{2} σ_{m v} ω^{m v}] σ_{2} ψ^{*})}_{a},

$(\sigma_{2}\psi^{*})_{a} \to \left(\text{exp}\left[ \frac{1}{2}\sigma_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu}\right]\sigma_{2}\psi^{*}\right)_{a},$ que es lo mismo que para ordinario

ψ_{a}

$\psi_{a}$ .

Esto es bastante obvio ya que la conjugación de carga, a través de la cual definimos el espinor de Majorana, es solo el análogo de la conjugación compleja en el espacio de los espinores.

...¿Alguien me puede ayudar?..

Simplemente comience desde la expansión general del campo de creación-destrucción para el campo de Dirac:

{\hat{Ψ}}_{A} (X) = \sum_{σ} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{(2 π)^{3} 2 {mi}_{pag}}} (C_{1} {tu}_{A}^{σ} (pag) {\hat{a}}_{σ}^{†} (pag) {mi}^{i pag X} + C_{2} v_{A}^{σ} (pag) {\hat{a}}_{σ} (pag) {mi}^{- i pag X})

$\hat{\Psi}_{A}(x) = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2\pi)^{3}2E_{\mathbf p}}}\left(c_{1}u_{A}^{\sigma}(\mathbf p)\hat{a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)e^{ipx} + c_{2}v_{A}^{\sigma}(\mathbf p)\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p)e^{-ipx}\right)$ La condición de Majorana

\hat{Ψ} (X) = C {\hat{\bar{Ψ}}}^{T} (X), C = i γ_{0} γ_{2}

$\hat{\Psi}(x) = C\hat{\bar{\Psi}}^{T}(x), \quad C = i\gamma_{0}\gamma_{2}$ que separa el subespacio de las representaciones del grupo de Lorentz

T (Λ)

$T(\Lambda)$ para cual

T (Λ)

$T(\Lambda)$ y

T^{*} (Λ)

$T^{*}(\Lambda)$ son equivalentes, se relaciona

u_{σ} (p)

$u_{\sigma}(\mathbf p)$ a

v_{σ} (p)

$v_{\sigma}(\mathbf p)$ . Después de un poco de álgebra, obtenemos

v_{σ} (pag) = {\bar{tu}}_{σ}^{T} (pag) = - (- 1)^{1 / 2 + σ} C γ_{5} {tu}_{- σ} (pag)

$v_{\sigma}(\mathbf p) = \bar{u}^{T}_{\sigma}(\mathbf p) = -(-1)^{1/2+\sigma}C\gamma_{5}u_{-\sigma}(\mathbf p)$

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