¿Por qué aceptar el axioma del infinito?

Si crees en el conjunto de los números naturales ya aceptas el axioma del infinito. Para la mayoría de los matemáticos, la existencia del conjunto de números naturales es un hecho intuitivamente claro que no necesita un argumento, por lo que los matemáticos normalmente no se molestan con el axioma. Además, muchas matemáticas clásicas dependen de conceptos tan infinitos.

La cuestión de aceptar o rechazar tal axioma es principalmente interesante para los filósofos, no para los matemáticos. Uno puede rechazar el axioma del infinito (a estas personas a menudo se las llama finitistas ), pero la mayoría de los matemáticos no lo hacen. Creen en la existencia del conjunto de los números naturales y por tanto ven el axioma del infinito como un hecho trivialmente cierto.

A un finitista que rechace el axioma del infinito se le negarán las construcciones de números reales de Dedekind y Cauchy. ¿El problema? Los reales son incontables (Cantor demostró esto), y en el universo de un finitista, el universo mismo es contable.

$V_0=\varnothing$

$V_{n+1}= \mathscr P (V_n)$dónde$\mathscr P$denota el conjunto de potencia.

El universo si aceptamos la negación del axioma del infinito es$V_\omega=\bigcup_{x\in\omega} V_x$, una unión contable de conjuntos contables como máximo.

Es posible e interesante tener como nuestro sistema de axiomas el habitual ZF, pero con el Axioma del Infinito reemplazado por su negación . La teoría resultante, que se podría llamar la teoría de los conjuntos (hereditariamente) finitos, resulta biinterpretable con la aritmética de Peano de primer orden.

Como formalista, me hago eco del comentario de Neal que dice que "los axiomas son, por definición, estipulados". La verdadera pregunta es si la estructura así axiomatizada es interesante o si vale la pena estudiarla.

Como muchos matemáticos formulan argumentos que implican un conjunto de números naturales, se deduce que un buen universo de conjuntos debe incluir un conjunto de números naturales. Que su existencia sea un axioma o un teorema no es realmente importante; eso es meramente cuestión de exposición. La exposición es importante, por supuesto, pero quería enfatizar que eso es todo.

Ahora, también me gusta observar la estrecha analogía entre la lógica y la teoría de conjuntos. En mi opinión, esa es realmente la razón principal por la que la teoría de conjuntos ha alcanzado la importancia que tiene: en realidad es solo una sistematización de las cosas que nos gusta hacer con la lógica.

Por ejemplo, si decido jugar a ser finitista y considero la teoría de conjuntos finitos, todavía puedo decir significativamente la palabra "número natural" y considerar predicados como "$x$es un número natural". Esto me permite decir cosas sobre la clase de números naturales, considere funciones de clase en los números naturales como$f(x) = x+1$, considere predicados en la clase de números naturales como "E(x) :=$x$es par", cuantificar predicados sobre los números naturales como$\forall x \in \mathbb{N} : E(x) \leftrightarrow \neg E(x+1)$, Etcétera.

Y como puedo considerar predicados como E(x), esto significa que también puedo hablar de la clase de números naturales pares.

Si puedo considerar una variable que denota un número natural, puedo considerar dos variables que denotan números naturales: puedo hablar de la clase$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$.

Si uno es del tipo que se enfoca en tales cosas, puede hablar de traducir mecánicamente todos esos enunciados en enunciados equivalentes en un lenguaje sin tipo de teoría de conjuntos finitos, y seguir pensando en el fondo de la mente que en realidad está trabajando con estos sin tipo. declaraciones en lugar de las más sugerentes que indica la notación.

Si bien tal traducción es posible, y es bueno saberlo, creo que la forma de pensar no está justificada: el hecho de que la traducción sea posible significa que no debe tener reparos en pensar en términos de ideas nuevas y sugerentes en lugar de perjudicarse a sí mismo con un proceso de pensamiento restrictivo.

Así que realmente, cuando juego a ser finitista, sigo teniendo acceso a una cantidad limitada de teoría de conjuntos que incluye un conjunto de números naturales. La teoría de conjuntos de NBG codifica esto para tener "conjuntos" y "clases". NBG con anti-infinito tiene dos tipos de objetos: conjuntos y clases. Los números naturales serían una clase (propia). Supongo que en presencia de anti-infinity, NBG sigue siendo 'equivalente' a ZFC.

Si además me permito considerar la lógica de segundo orden, puedo hacer más. Mis objetos ahora incluyen predicados de primer orden. Puedo considerar el predicado de segundo orden "$\varphi(P) := \forall x: P(x) \implies x \in \mathbb{N}$". En otras palabras, ahora puedo hablar de subconjuntos de los números naturales.

Si no me detengo allí y voy hasta la lógica de orden superior, entonces puedo hacer esto para cada tipo. En la analogía de la teoría de conjuntos lógicos, ahora considero conjuntos de potencia. Afirmo que esto significa que todos los tipos de los que puedo hablar están organizados en un topos booleano con objeto de número natural; en otras palabras, que la lógica de orden superior de la teoría de conjuntos finitos es una instancia de la lógica de primer orden de la teoría acotada. Teoría de conjuntos de Zermelo (con infinito). Limitado significa que nunca se me permite decir$\forall x: \cdots$en cambio,$x$debe estar vinculado a algún conjunto/tipo, como en$\forall x \in T: \cdots$.

Por todas estas cosas, no estoy completamente convencido cuando un finitista rechaza la noción de un conjunto de números naturales. Podría entender ser restrictivo en el tipo de cosas que puede hacer con dicho conjunto, pero rechazarlo por completo es, en mi opinión, una noción tonta que atribuyo más simplemente a tener una actitud contraria que al contenido sustantivo.

La teoría de conjuntos de Frege conduce a contradicciones y nuestro objetivo es alejarnos de ella utilizando la teoría de conjuntos de Zermelo o la teoría de conjuntos NBG; sin embargo, para pasar a estos tipos más desarrollados (o más restringidos), necesitamos definir muy bien el universo en cómo nuestras clases y los conjuntos se comportan.

Recuerde que una clase es un universo básico si sigue 6 axiomas específicos, para que la clase sea transitiva, hinchada, para incluir el conjunto vacío y el conjunto potencia de cualquier x en la clase, para incluir cualquier unión de cualquier x en la clase y para incluir {x,y} para cualquier x e y en la clase.

No podemos pasar a la teoría de conjuntos de Zermelo o NBG por la definición del universo que acabo de dar; añadimos en un nuevo axioma, aceptamos que el conjunto de los números naturales se puede incluir en nuestro universo, que ahora ya no es básico y por lo tanto un universo Zermelo.

Yo diría que el axioma del infinito garantiza la existencia de conjuntos infinitos, sin embargo, argumentos como una gran cantidad de trabajo sobre los números naturales y reales son pobres para el apoyo y la supuesta verdad del axioma del infinito, digamos que encontramos fuera que este axioma causa problemas a algún marco; nuestros argumentos para poner un gran énfasis en los números reales y naturales no nos favorecen en este punto, sino que usamos el axioma para construir más la teoría de conjuntos.