¿Por qué es necesario el Axioma del Infinito?

La respuesta de BrianO es acertada, pero me parece que es posible que no esté demasiado familiarizado con los modelos y las pruebas de consistencia, por lo que intentaré brindar una explicación más completa. En todo caso, puede guiarlo mejor hacia lo que necesita estudiar, ya que es cierto que estoy a punto de pasar por alto una gran cantidad de material.

¿Por qué necesitamos el axioma del infinito? Porque sabemos (y podemos probar) que los otros axiomas de ZFC no pueden probar que existe un conjunto infinito. La forma en que esto se hace es aproximadamente mediante los siguientes pasos:

• Recuerda un conjunto de axiomas.$\Sigma$es inconsistente si para cualquier oración$A$los axiomas conducen a una prueba de$A \land \neg A$. Esto se puede escribir como$\Sigma \vdash A \land \neg A \to \neg Con(\Sigma)$
• Si$Inf$es el enunciado "existe un conjunto infinito", entonces$\neg Inf$es la afirmación "no existen conjuntos infinitos".
• El axioma del infinito es esencialmente la suposición de que$Inf$es cierto y por lo tanto$\neg Inf$Es falso.
• Si no necesitamos el axioma del infinito, entonces con los otros axiomas$ZFC^* = ZFC - Inf$, deberíamos poder probar$Inf$como un teorema, en otras palabras postularemos que$ZFC^* \vdash Inf$
• Asumimos que$ZFC$, y por lo tanto el subconjunto$ZFC^*$, son consistentes.
• Luego agregamos$\neg Inf$como axioma de$ZFC^*$, que llamaremos$ZFC^+$
• Al mostrar que$(ZFC - Inf) + \neg Inf$tiene un modelo (un conjunto en el que todos los axiomas son verdaderos cuando los cuantificadores se extienden solo sobre los elementos del conjunto), podemos probar la consistencia relativa$Con(ZFC) \to Con(ZFC^+)$. En otras palabras, básicamente estamos demostrando$ZFC^+$es consistente, pero necesitamos ser explícitos de que esta prueba asume$ZFC$es consistente.
• El modelo que queremos es$HF$, el conjunto de todos los conjuntos hereditariamente finitos . Te dejo que verifiques todos los axiomas de$ZFC^+$mantener en este conjunto. Pero el punto importante es$HF \models ZFC^+$, y nuestra relativa consistencia está probada. (Esto se deduce del teorema de completitud de Gödel)
• Estamos suponiendo que$ZFC^* \vdash Inf$, pero porque$ZFC^+$es una extensión de$ZFC^*$también debe darse el caso de que$ZFC^+ \vdash Inf$. Pero entonces tenemos$ZFC^+ \vdash Inf \land \neg Inf$y por lo tanto es inconsistente, una contradicción.

Por tanto, debemos concluir que nuestra hipótesis$ZFC^* \vdash Inf$es falso y no hay prueba de$Inf$de los otros axiomas de ZFC.$Inf$debe tomarse como un axioma para poder demostrar que cualquier conjunto infinito existe.

La existencia de cada número natural se deriva de los otros axiomas de la teoría de conjuntos, pero si descarta el Axioma del Infinito (AxInfinity), la teoría resultante ZFC-AxInfinity tiene un modelo (transitivo) que consiste en los conjuntos hereditariamente finitos, que no contiene infinitos . conjuntos Los axiomas de ZFC-AxInfinity no permiten reunir todos los números naturales en un solo conjunto.

El punto es que una vez que reúne todos los números naturales en un conjunto, ahora puede tratar ese conjunto como un objeto atómico como cualquier otro y puede hacer todas las cosas que puede hacer con un conjunto. Entonces, por ejemplo, puedes hacer un conjunto que tenga el conjunto de números naturales como elemento, puedes construir el conjunto potencia de números naturales, puedes hacer funcionales (funciones que toman funciones) de funciones de números naturales.

Lo radical de la teoría de conjuntos de Cantor fue la combinación de conjuntos que pueden contener conjuntos (con las operaciones habituales de la teoría de conjuntos finitos) y conjuntos infinitos. Cada idea por sí sola no es gran cosa. La teoría de conjuntos finitos es algo perfectamente razonable, incluidos los conjuntos de potencia. Tener un "tipo" de números naturales también es algo razonable, solo indica qué operaciones se le permite hacer en las cosas que tienen ese tipo. En particular, en la teoría de tipos (simple), no puede crear una función que devuelva un tipo en sí misma, mientras que en la teoría de conjuntos es una definición completamente válida decir:$f(1) = \mathbb{N}; f(2) = \mathbb{Z}$.

Entonces, lo crucial es que, en el contexto de la teoría general de los conjuntos, el Axioma del Infinito establece que no solo existen los números naturales (efectivamente), sino que puedes sostenerlos en tus manos y manipular el conjunto como un todo como cualquier otro. otro. Esto es contra lo que se rebelan los finitistas. No tienen problema con una "infinitud" de números naturales (aunque dirían una "cantidad ilimitada"), sino con poder manipular esa infinitud exactamente de la misma manera que manipularía el conjunto finito:$\{1, 2, 3\}$.