¿Es cierto que con las matemáticas modernas cada vez es menos importante que un axioma sea evidente por sí mismo?

Si y no.

Sí

en el sentido de que ahora nos damos cuenta de que todas las pruebas, al final, se reducen a los axiomas y reglas de deducción lógica que se asumieron al escribir la prueba. Para cada enunciado, existen sistemas en los que el enunciado es demostrable, incluyendo específicamente los sistemas que asumen el enunciado como un axioma. Por lo tanto, ninguna declaración es "no demostrable" en el sentido más amplio: solo puede ser improbable en relación con un conjunto específico de axiomas.

Cuando miramos las cosas en completa generalidad, de esta manera, no hay razón para pensar que los "axiomas" para cada sistema serán evidentes por sí mismos. Ha habido un cambio paralelo en el estudio de la lógica desde el punto de vista tradicional de que debería haber una única lógica "correcta", hacia el punto de vista moderno de que hay múltiples lógicas que, aunque incompatibles, son de interés en ciertas situaciones.

No

en el sentido de que los matemáticos pasan su tiempo donde les interesa, y pocas personas están interesadas en estudiar sistemas que creen que tienen axiomas inverosímiles o sin sentido. Por lo tanto, se necesita alguna motivación para interesar a los demás. El hecho de que un axioma parezca evidente es una forma que puede adoptar la motivación.

En el caso de ZFC, existe un argumento bien conocido que pretende mostrar cómo los axiomas son, de hecho, evidentes por sí mismos (con la excepción del axioma de reemplazo), al mostrar que todos los axiomas se cumplen en una forma preformal. concepción de la jerarquía acumulativa. Este argumento se presenta, por ejemplo, en el artículo de Shoenfield en el Handbook of Mathematical Logic .

Otro análisis en profundidad del estado de la axiomática en los fundamentos contemporáneos de las matemáticas es " Does Mathematics Need New Axioms? " de Solomon Feferman, Harvey M. Friedman, Penelope Maddy y John R. Steel, Bulletin of Symbolic Logic , 2000.

Descargo de responsabilidad: no leí la cita original completa en detalle, la pregunta ya se había editado y la cita se acortó. Mi respuesta se basa en el título, la introducción y algunos párrafos de la cita [original].

Matemáticas, las matemáticas modernas centran muchos recursos en el rigor. Después de varios milenios donde las matemáticas se basaban en la intuición, y eso obtenía algunos resultados, llegamos a un punto en el que se necesitaba rigor.

Una vez que se necesita rigor, uno no puede simplemente "hacer cosas". Uno tiene que obedecer un conjunto particular de reglas que definen lo que constituye una prueba legítima. Es cierto que no escribimos todas las pruebas de una manera completamente rigurosa, y cometemos errores de vez en cuando debido a que descuidamos los detalles.

Sin embargo, necesitamos un marco rígido que nos diga qué es el rigor. Los axiomas son el resultado directo de este marco, porque los axiomas son en realidad solo suposiciones con las que no vamos a discutir (al menos por el momento). Es una palabra que usamos para distinguir algunas suposiciones de otras suposiciones y, por lo tanto, darles cierto estatus de "suposiciones que no deseamos cambiar muy a menudo".

Debo añadir dos puntos, también.

1. No estoy viviendo en un mundo matemático. Lo último que revisé tenía brazos y piernas, y no objetos matemáticos. Cené y no algún funtor derivado. Y estoy usando una computadora para escribir esta respuesta. Todas estas cosas no son objetos matemáticos, son objetos físicos.

   Al ver que no vivo en el mundo matemático, sino en el mundo físico, no veo ninguna necesidad de insistir en que las matemáticas describirán el mundo en el que estoy. Prefiero hablar de matemáticas en un marco en el que tengo reglas que me ayudan. Yo decido si algo es una deducción razonable o no.

   Por supuesto, si tuviera que discutir cuántos teclados tengo en mi escritorio o cuántos parlantes están conectados a mi computadora en este momento, entonces, por supuesto, no tendría ningún problema en abandonar el rigor. Pero, desafortunadamente, muchas de las cosas en las matemáticas modernas tratan con objetos infinitos y muy generales. Estos objetos desafían toda intuición y, cuando no se trabajan con rigor, los errores aparecen más a menudo de lo que deberían, como nos enseñó la historia.

   Entonces uno tiene que decidir: o hacer matemáticas sobre los objetos en mi escritorio, o en los gabinetes de mi cocina; o ceñirse al rigor y los axiomas. Creo que esta última es una mejor opción.

2. Hablé con más de un Ph.D. estudiante de informática que realizó su M.Sc. en matemáticas (y algunas personas que solo estudian una parte de su licenciatura en matemáticas, y el resto en informática), y todos coincidieron en una cosa: la informática carece de la definición de prueba y rigor, y se vuelve realmente difícil seguir algunos resultados.

   Por ejemplo, uno de ellos me dijo que escuchó una serie de conferencias de alguien que tiene una experiencia de renombre mundial en un tema en particular, y esa persona cometió un error horrible en la prueba de un lema muy trivial. Por supuesto que el lema era correcto (y ese amigo mío se sentó a escribir una prueba), pero ¿realmente podemos permitir una negligencia como esa? En informática, muchos de los resultados se aplican luego al código y se ponen a prueba. Por supuesto, eso no prueba su corrección, pero le da una sensación de "suficientemente bueno".

   ¿Cómo se supone que, en matemáticas, vamos a probar nuestras pruebas sobre objetos intangibles? Cuando escribimos un argumento inductivo. ¿Cómo se supone que debemos comenzar a probarlo? He aquí un ejemplo: todas las expansiones decimales de los enteros son más cortas que$2000^{1000}$dígitos decimales. Desafío a alguien a que escriba un número entero mayor que$10^{2000^{1000}}$explícitamente. ¡No se puede hacer en el mundo físico! ¿Significa eso que esta absurda afirmación es correcta? No, no lo hace. ¿Por qué? Porque nuestra intuición sobre los números enteros nos dice que son infinitos y que todos ellos tienen expansiones decimales. Sería absurdo suponer lo contrario.

Es importante darse cuenta de que los axiomas no son sólo los axiomas de la lógica y$\sf ZFC$. Los axiomas están a nuestro alrededor. Estas son las definiciones de los objetos matemáticos. Tenemos axiomas de un espacio topológico, axiomas de una categoría y axiomas de grupos, semigrupos y cohomologías.

Ignorar ese hecho es enterrar la cabeza en la arena e insistir en que los axiomas son solo para lógicos y teóricos de conjuntos.

Parece que mucha gente considera la opinión del autor como ingenua o mal informada. No estoy de acuerdo.

Hay una frase bien conocida atribuida a Kronecker (presumiblemente dicha originalmente en alemán, y tal vez también esté citando un poco mal la traducción al inglés) que dice que "Dios creó los números naturales, y todo lo demás es obra del hombre". Esta es (en mi opinión) una declaración esencialmente anti-axiomática, que se alinea bastante de cerca con el punto de vista del ensayo bajo consideración, a saber, que las matemáticas son la investigación de ciertos objetos "dados por Dios", como los números naturales, o el grupo de la mentira$G_2$(para tomar un ejemplo del ensayo).

Esta visión es en parte platónica (en el sentido de que ese término se usa generalmente en este tipo de discusiones, refiriéndose a la creencia en una realidad matemática no formal) y en parte constructivista. Es uno con el que simpatizo personalmente, y no creo que esté solo en eso. Considero a ZFC como un marco conveniente para hacer matemáticas, pero no como la base real que subyace a las matemáticas que hago; los números naturales y la investigación de sus propiedades son (en mi opinión) mucho más fundamentales que ZFC u otros sistemas axiomáticos que podrían codificarlos --- y lo mismo ocurre con$G_2$(otra vez en mi opinión)!

Mi punto de vista puede ser minoritario entre los matemáticos que trabajan (realmente no lo sé), pero sé que no soy el único que lo sostiene. También conozco a otros que creen genuinamente que todo lo que hacen depende de ZFC y que esto es de vital importancia.

Otra cosa: a menudo se dice que aunque muchos matemáticos no invocan explícitamente los axiomas de ZFC en su trabajo, implícitamente se apoyan en esos cimientos. Personalmente, no encuentro esto convincente; Creo que a menudo sucede que aquellos que creen que todo se basa necesariamente en ZFC encuentran fácil interpretar lo que otros están haciendo como (implícitamente) que se basa en esos cimientos. Pero aquellos que no creen esto tampoco aceptarán las afirmaciones de que su trabajo se basa implícitamente en esos cimientos.

Para que quede claro, por cierto: mis comentarios aquí no pretenden aplicarse a cosas como los teoremas de la teoría de grupos, el álgebra conmutativa o la teoría de Lie, donde se derivan consecuencias de los axiomas que satisface una estructura (aunque podrían aplicarse en ciertos contextos donde potencialmente intervienen cuestiones de teoría de conjuntos); obviamente, los axiomas juegan un papel, aunque, como escribe el autor, en estos contextos los axiomas podrían interpretarse mejor como definiciones. Más bien, se aplican a los objetos básicos de las matemáticas como los números naturales, las ecuaciones diofánticas, etc.

También parece que vale la pena mencionar algo aquí sobre lo que también hice un comentario en otra respuesta:

Actualmente no parece saberse si FLT se prueba en PA, o solo en alguna axiomización más sofisticada de los números naturales. Por otro lado, no hay duda entre los teóricos de números de que la prueba es correcta. ¿Cómo es posible tal situación? Desde mi punto de vista, se debe a que, en última instancia, las personas verifican la prueba no verificando que sea consistente con una lista específica de axiomas, sino verificando que concuerde con su intuición básica de la situación, una intuición que existe antes de cualquier axiomización.

Al final, presumiblemente será posible aislar con precisión aquellas propiedades de los números naturales que se usan en la prueba, ya sean los axiomas de PA o algo más fuerte, pero mi punto es que se sabe que la prueba es correcta aunque lo que propiedades precisas de$\mathbb N$se están utilizando aún no se sabe! Esto se debe a que podemos discutir sobre$\mathbb N$basado en nuestra comprensión intrínseca del mismo, sin tener que codificar todos los aspectos de esa comprensión que usamos en forma axiomática precisa.

[La] suposición moderna común de que las matemáticas se construyen a partir de "axiomas" ... no es una posición con la que Newton, Euler o Gauss hubieran tenido mucha simpatía, en mi opinión. ... [L]as definiciones claras y cuidadosas son un comienzo preferible para el estudio de las matemáticas.

Pero las mismas razones para objetar un crudo modelo de conocimiento matemático de "primero establecer algunos axiomas y ver qué sigue" se aplican igualmente a un modelo de "primero fijar las definiciones". Las definiciones no se establecen desde el principio, de una vez por todas, "talladas en piedra", sino que a menudo deben ajustarse a medida que exploramos pruebas exitosas y no exitosas. Qué definiciones es útil usar es algo que los matemáticos descubren mediante exploración, prueba y error.

Hay una discusión famosa y maravillosamente estimulante sobre la forma en que crece el conocimiento matemático y la forma en que nuestros axiomas y definiciones se refinan a medida que avanzamos, en Pruebas y refutaciones de Imre Lakatos (1976), que cualquier estudiante de matemáticas debería leer alguna vez .

Para la mayoría de los propósitos, axioma, definición, teorema, postulado, lema, corolario, proposición y todos los demás términos similares son simplemente pedagogía, y esencialmente no hay contenido matemático en la distinción entre ellos. (aunque "axioma" y "teorema" tienen un significado técnico preciso en el marco de la lógica formal. Pero se aplican las advertencias habituales acerca de mezclar significados formales e informales)

Soy uno de esos formalistas que el autor denuncia. Soy formalista porque reconozco lo siguiente.

Los argumentos involucran hipótesis y reglas de inferencia. En cuanto a las hipótesis, tenemos dos enfoques básicos:

• Uno puede formular hipótesis por adelantado,
• Uno puede inventarlos sobre la marcha.

En lo que respecta a las inferencias, tenemos dos enfoques básicos:

• Uno puede establecer reglas aceptables de inferencia por adelantado,
• Uno puede inventarlos sobre la marcha.

En ambos casos, un enfoque es mucho más convincente que el otro. :)

Cuando una persona dice cosas como

un hecho que era suficientemente obvio para no requerir una prueba

el único contenido significativo es la declaración "Asumo esta declaración"; todo lo demás es puramente retórico y solo tiene peso si aceptas la retórica.

(Suponiendo, por supuesto, que no considere que "Wildberger cree que Euclides pensó que algo era obvio" sea un argumento lógicamente válido para alguna conclusión. E incluso si piensa algo así , tal regla de inferencia puede ser muy engañosa aplicar correctamente)

No importa si realmente creemos que las matemáticas son un juego sin sentido o algo que nos habla de la "realidad del mundo en que vivimos"; de cualquier manera, habrá algunas afirmaciones que aceptemos, algunas reglas de inferencia que aceptemos y otras afirmaciones que deduzcamos de ellas. Y si hacemos un buen trabajo poniendo todas las hipótesis en primer plano y eliminando los adornos extraños, ni siquiera se puede notar la diferencia entre las dos filosofías.

Una de las propiedades agradables del "juego jugado con símbolos" es que no importa por qué lo estás jugando, todos obtienen las mismas respuestas. Puedes jugarlo porque crees que describe algo "real" pero abstracto, o porque crees que el propósito de las matemáticas es predecir el universo y que mediante la manipulación de símbolos puedes hacerlo, o puedes jugarlo porque te gustan los símbolos. A nadie le importa, pueden usar tus resultados de todos modos. No ocurre lo mismo con el razonamiento intuitivo.

Hay más de una manera de proporcionar una base para las matemáticas. La más ampliamente referenciada en este momento es la teoría axiomática de conjuntos, pero se obtuvieron 2000 años de valiosos resultados en matemáticas sin ella y con solo algún percance ocasional. Lo inteligente (y quizás sorprendente) de la teoría axiomática de conjuntos es que podría "deslizarse" debajo de todo ese razonamiento, de una manera que evitara cambiar fundamentalmente lo que los matemáticos aceptan como prueba en la mayoría de los campos.

El proyecto metamath busca compilar pruebas de ZF(C) de todo. Es interesante que incluso cuando tales pruebas elementales no existen ya, porque los matemáticos simplemente no han escrito los detalles completos de cada prueba en el cálculo de predicados, nadie espera que el proyecto fracase en producirlas. Los matemáticos "pueden decir" que están haciendo argumentos que se formalizan incluso sin formalizarlos, obviamente con un pequeño margen de error.

Como tal, no importa que Euclides no estuviera razonando sobre un conjunto que modela una teoría particular, porque alguien que hace eso, o en general que razona a partir de axiomas, puede obtener los mismos resultados.

A veces, las personas que se preocupan por los axiomas no obtienen los mismos resultados. En el esquema de Euclides, el Axioma de Pasch no sigue, lo que Euclides no notó. AFAIK eso no es porque estaba declarando hechos verdaderos en un orden sensato y no habría sido sensato decir esto. Simplemente lo pasó por alto, era tan evidente que ni siquiera se dio cuenta de que se evidenciaba a sí mismo. Creo que está bastante claro que Pasch mejoró el trabajo de Euclides eliminando tales detalles. Euclid pretendía que su lista de axiomas incluyera todo lo que él daba por sentado, por lo que es útil razonar solo a partir de los axiomas que ha identificado en lugar de cualquier cosa que sea evidente por sí misma.

O tomemos el "axioma" que preocupaba al propio Euclides, el postulado de las paralelas. Al considerar las geometrías no euclidianas en general, parte de su valor es que tienen algunas cosas en común con las euclidianas y algunas cosas diferentes. ¿Cómo se caracteriza la diferencia? Por diferentes axiomas . Ahora bien, si Euclides sintiera que un axioma era algo inherentemente verdadero, entonces está bien, pero si mantuviera su opinión de que el postulado de las paralelas es verdadero, eso lo habría hecho incapaz de considerar una geometría no euclidiana a la luz. de sus otros axiomas. Esa es una limitación de negarse a considerar que los axiomas son negociables. Nunca conocí a Euclid, pero me cuesta creer que una gran mente sea inherentementelimitado de esa manera. Obtuvo cierta distancia en el tiempo del que disponía, pero no descubrió todo lo interesante sobre su procedimiento de razonamiento. Descubrir cosas más interesantes hizo que los matemáticos modernos comenzaran a ver los axiomas de manera diferente y a ver lo que los matemáticos habían estado haciendo durante 2000 años de manera diferente.

También estoy de acuerdo con los axiomas como definiciones. Por todos los medios, puede escribir sus axiomas y reglas de procedimiento, y usarlos sobre la base de que valen la pena en sí mismos, o que cualquier base que proporcione un modelo para ellos servirá, y no le interesa abordar el problema. cuestión filosófica de cuál podría ser ese fundamento. No creo que estas partes de lo que dice el autor sean controvertidas, la parte engañosa es rechazar los fundamentos formales por completo. No sé qué quiere decir el autor con "comenzar a estudiar matemáticas", pero si está hablando de la formación de un estudiante, dudo que alguien argumente que a los niños se les debe enseñar ZF antes de aprender a contar. Como tal se deduce que ZF no viene primero, si algún formalismo lo hace es PA.

Apuesto a que menos del 5% de los matemáticos alguna vez han empleado uno de estos "Axiomas" explícitamente en su trabajo publicado.

Esto suena como un punto que, si quiere hacerlo en serio, puede investigar mediante muestreo estadístico. Es un punto interesante, y asumamos que es verdad, pero finalmente si escribes$x \notin x$no está apelando explícitamente al axioma de regularidad, pero está apelando a un resultado que ha visto probado (con una prueba muy breve) de ZF, y cualquiera que pueda leer su artículo también ha visto esta prueba. Y así sucesivamente hasta obtener resultados con demostraciones mucho más largas. Como muestra la metamatemática, no existe un límite fijo entre los resultados que se pueden formalizar y los que no.

La falta de apelación explícita no prueba si los axiomas son o no fundamentales para el trabajo. Sin embargo, cualquier papel determinado se basa en un conjunto de resultados, y si reemplazó ZFC con otra cosa que produce los mismos resultados, entonces no necesitaría cambiar el papel. Eso es lo que hacen los que juegan con las fundaciones. Es perfectamente razonable manifestar el descontento con las fundaciones, pero la tarea difícil y esclarecedora sería brindar una alternativa. Una noción ingenua de clases en lugar de cosas "demasiado grandes para ser conjuntos" puede o no hacer el trabajo. El autor afirma que sí (a modo de ejemplo, la lista completa de trucos para formar su base presumiblemente es más larga).

Por lo tanto, creo que a las fundaciones se les presta más que palabrería, pero en contra de eso, se aceptan resultados cuya prueba podría ser más rigurosa en el sentido de que aún no son verificables por computadora en lógica simbólica, pero podrían hacerlo en el opinión tanto del autor como de los lectores. Saque de ahí lo que quiera de si el trabajo formal y/o la opinión de que se podría hacer la formalización, son "necesarios". Mientras tanto, el punto principal del autor es cierto que la mayoría de los matemáticos no pasan mucho tiempo preocupándose por los fundamentos y parecen hacerlo bien.

Volviendo a la pregunta original: ¿Las matemáticas requieren axiomas?

La mejor respuesta que se me ocurre es: en absoluto, hasta que lo hagan.

En la práctica real, los matemáticos que trabajan se dedican a desarrollar nuevas matemáticas utilizando herramientas del pensamiento y el habla humanos comunes: modelan objetos abstractos como imágenes (en la cabeza o en la pizarra); 'miran los objetos' para 'ver' qué características tienen; usan resultados previos en argumentos de manera muy informal; ellos 'agitar a mano' argumentos; etc. Cuando apelan a alguna propiedad para justificar una inferencia en chats con colegas, no se molestan en justificar la apelación siempre que el colega la acepte. Incluso cuando finalmente escriben sus resultados y tienen que ser técnicamente más precisos, todavía usan mucho lenguaje informal y casi nunca se refieren a axiomas específicos para justificarse, porque esperan que sus lectores sepan lo que quieren decir.

Y es un hecho histórico que todas las principales matemáticas que se han creado se desarrollaron bastante antes de que alguien sintiera la necesidad de introducir axiomas. La creación y el desarrollo explosivo del Cálculo/Análisis prosiguieron durante más de doscientos años antes de que la gente sintiera la necesidad de axiomatizarlo (o más bien los Números Reales en los que se basa). Los resultados básicos de la Geometría eran bien conocidos antes de que Euclides escribiera los Elementos. Diablos, la gente estaba haciendo aritmética, y luego teoría de números, miles de años antes de que alguien pensara en crear axiomas para los números naturales.

A juzgar por la historia, parece que los matemáticos recurren a la axiomatización en dos circunstancias: (a) necesitan enseñar un tema a estudiantes ordinarios en lugar de matemáticos dedicados, y el viejo 'agitar las manos' no es suficiente; (b) El viejo 'agitar las manos' conduce inesperadamente a contradicciones u otros resultados falsos. La geometría es el prototipo de (a) - Euclides era profesor y necesitaba un libro de texto para organizar la materia para sus alumnos. La teoría de conjuntos es un caso clásico de (b): el propio razonamiento de Cantor produjo paradojas manifiestas, que fueron eliminadas por axiomatización [Zermelo, Russell, etc.]. El cálculo era una combinación de ambos: la axiomatización comenzó porque matemáticos como Bolzano y Weirstrauss tenían que enseñárselo a estudiantes ordinarios, pero encontraron que todos los argumentos habituales eran un galimatías lógico [¿infinitesimales?] y desastres pedagógicos.

En primer lugar, que yo sepa, nadie sabe realmente nada sobre Euclides, y mucho menos lo que pasaba por su mente al formular sus "axiomas". Sea como fuere, los axiomas existen por una razón, no solo para los formalistas y lógicos vertiginosos. Es cierto que la mayoría de los matemáticos nunca hacen uso explícito de ningún axioma y, como usted dice, la mayoría ni siquiera puede recordar uno solo de ellos. Pero el hecho es que tienen un propósito preciso en matemáticas, ya que las matemáticas son y deben ser independientes de cualquier tipo de medidas del mundo real (a través de las medidas del mundo real, de hecho, pueden guiar nuestra intuición en matemáticas). El problema principal es el antiguo escenario de la pregunta reiterada "¿por qué?". Tras una iteración suficiente de la pregunta "¿por qué?" (que es una pregunta legítima), siempre terminarás en una tierra donde la única salida es responder con "axiomas", simplemente no hay otra manera si quieres permanecer en el ámbito de las matemáticas puras. Y aunque nunca pienso en los axiomas y nunca los he usado, entiendo que tienen un propósito, que para mí es obvio que las personas deberían adoptar si realmente quieren comprender la naturaleza de las matemáticas y su distinción de la ciencia. que es intrínsecamente empírico.

Puedo entender la frustración del escritor con los axiomas de ZF. Yo mismo los encontré tan contrarios a la intuición que tuve que desarrollar mis propias versiones simplificadas. (OK, ¡tal vez no soy tan inteligente!)

La única área en la que absolutamente no puede evitar tratar con cada uno de los axiomas de la teoría de conjuntos (y la lógica) es en el desarrollo de probadores de teoremas automatizados y comprobadores de pruebas. Pero no hay razón para estar tan asustado por la noción de un conjunto infinito. Se pueden manejar con bastante facilidad y seguridad. Creo que este terror al infinito debe haber sido una especie de reacción exagerada a las conocidas inconsistencias de la teoría ingenua de conjuntos.