Estoy estudiando los axiomas para un campo ordenado completo. He buscado en diferentes fuentes, algunas de las cuales difieren ligeramente en sus listados.
Dada alguna construcción de los reales (por ejemplo, cortes de Dedekind o conjuntos de Cantor), es relativamente fácil demostrar que cualquier axioma dado se satisface, pero lo que no puedo entender es: ¿cómo decidimos qué axiomas son necesarios?
No me refiero a "necesario" como en "mínimo" (que es muy fácil de definir: ningún axioma puede derivarse de los demás). Más bien, lo que quiero decir es probablemente un poco más subjetivo. A riesgo de ofender a alguien aquí, tiendo a creer que la ' aplicabilidad al mundo real ' siempre ha sido una (no la, para que no me asalten) fuerza impulsora detrás de las matemáticas, al menos hasta cierto punto en el tiempo. La mayoría de la gente quería que los reales fueran útiles y convenientes.
Mi pregunta es: ¿por qué algunos axiomas son necesarios para que los reales sean útiles, mientras que otros no necesitan ser enunciados?
Daré algunos ejemplos:
La forma en que justifico la necesidad de la distributividad de la multiplicación sobre la suma es que si no la incluyéramos, podríamos terminar con estructuras que no se ajustan a nuestra experiencia (por ejemplo, podríamos definir la multiplicación de dos negativos como positiva). ¿Es esta una forma razonable de justificar este axioma? ¿Hay más ideas?
Traducción multiplicativa de : . Por supuesto que nos gustaría esta propiedad, pero ¿por qué está bien dejar el caso donde ¿indefinido? ¿Garantizan los otros axiomas que obtengamos lo que 'queremos' en este caso?
Sin traducción aditiva y multiplicativa de , ¿puede haber una relación de orden que satisfaga los otros axiomas (tricotomía y transitividad) pero viole la traducción aditiva y/o multiplicativa?
Las axiomatizaciones de las cosas que tienen sus raíces en las observaciones del mundo real tienden a llegar tarde en comparación con el uso de esas cosas. Los matemáticos usaron algo así como los números reales durante siglos antes de que fueran adecuadamente axiomatizados. Con ese trasfondo, los axiomas "necesarios" se convierten en "aquellas cosas que siempre asumimos antes de tomarnos la molestia de axiomatizar". Entonces, cuando se axiomatiza un objeto histórico, el objetivo es probar todas las cosas "obvias" que siempre hemos asumido sobre él a partir de un conjunto propuesto de axiomas.
Esta es una de las razones por las que la axiomatización de la teoría de conjuntos fue tan variada en el siglo XX. -- había una serie de cosas que "sabíamos" que tenían que funcionar y no todas lo hacían en axiomatizaciones particulares. (¿Debería la teoría de conjuntos contener un conjunto universal?... ¿Axioma de elección (global)?... ¿Universos de Grothendieck? ZF no contiene ninguno de estos.)
Con respecto a sus ejemplos particulares:
La distributividad de la multiplicación por la izquierda sobre la suma está involucrada para garantizar que los reales no se ramifiquen. En particular, el intervalo cubre a través de y y estas dos opciones te dan lo mismo (a través de los axiomas). (Esto no está bien explicado aquí. Más en la parte 3, a continuación, donde se discute cómo evitar la posibilidad de ramificación (a través de la opción anterior).)
Dejar , entonces o y obtenemos lo que esperamos a través de la traducción aditiva.
Sin los axiomas que mencionas, puede haber pares incomparables. Considere las ramas de un árbol. A lo largo de cualquier secuencia de opciones de rama que comience en el suelo y continúe continuamente hacia arriba, es fácil comparar dos puntos cualesquiera en el camino con , ,y . Sin embargo, a lo largo de dos opciones diferentes de ramificación, no está claro cómo comparar dos puntos excepto que son más grandes que el segmento inicial común de opciones. Por lo demás, son incomparables. Esto no es "arreglado" si todas las ramas finalmente se vuelven a juntar; en ese caso, también son menos que el segmento final común. Los otros dos axiomas aseguran (de manera indirecta) que la línea real es una sola línea y no hay bifurcaciones que puedan conducir a la incomparabilidad. (Contraste con "poset" o "conjunto parcialmente ordenado".)
usuario13618
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dezakin