¿Existen realmente el infinito y el cero? [cerrado]

Reclamo: Al menos uno de$0$,$\infty$existe

prueba: si$\infty$existe, hemos terminado. Si no, el número de instancias de$\infty$es$0$.

En realidad estoy algo serio. Esta es una adaptación de la prueba ontológica de cierto filósofo (lamentablemente, no recuerdo quién) de la existencia del conjunto vacío, que es en sí mismo un riff extraordinariamente perspicaz e ingenioso sobre el argumento ontológico de San Anselmo para la existencia de Dios . Extrañamente, mientras que tanto los teístas como los ateos tienden a encontrar el argumento de San Anselmo intrigante pero no convincente (me parece recordar que el artículo de Anselmo comienza disculpándose, ante Dios, por presentar el argumento), cuando lo inviertes para probar la existencia de nada, parece bastante convincente!

Creo que sus preguntas y luchas con estos conceptos difíciles son completamente comprensibles, pero su presentación es terrible. Eres innecesariamente conflictivo y agresivo. Tener dificultades con estos conceptos está completamente bien. Asumir que durante cientos de años los matemáticos conspiraron para construir un mundo imaginario te convierte en un chiflado. De ahí la serie de votos negativos. Creo que lo primero que debes hacer es aprender la humildad y presentar tus ideas con respeto. No asumas que solo porque algo no tiene sentido para ti , necesariamente no tiene sentido.

Entonces, dejando de lado mi incomodidad inicial con su actitud, permítame tratar de decir algunas palabras para resolver sus problemas.

1) infinito --- De hecho, esto es algo difícil de entender y hay matemáticos adultos que defienden puntos de vista similares. Sin embargo, son un poco más sofisticados y mucho menos arrogantes. En cuanto a la distancia más pequeña , ya se ha señalado que eso sería una declaración en física y no en matemáticas. Por otro lado, si crees en dividir números enteros entre números enteros, debes darte cuenta de que hay una cantidad infinita de números entre dos números o una cantidad infinita de puntos entre dos puntos, solo divide la distancia por$n$dónde$n$Corre a través de$\{1,2,3,\dots\}$. Pero, por supuesto, podría intentar argumentar que no tiene sentido hablar de números arbitrariamente grandes como$2^{2011}$ya que no tienen aplicaciones prácticas. No puedo decir nada a eso.

2) cero --- Siempre pensé que quien primero inventó el cero y el conjunto vacío tenía que ser un genio. Estos son de hecho conceptos difíciles. Sin embargo, estás confundiendo algunas cosas aquí. Tu dices

..."nada" es miembro de un conjunto... por lo que no hay conjunto con tamaño "cero". Siempre hay un elemento "nada" o "nulo" ahí. ¿Estoy en lo correcto?

No, no tienes razón. En primer lugar, ¿qué quieres decir con "nada"? El único significado matemático sensato de eso es el conjunto vacío . Entonces, estás hablando de un conjunto que consta de un elemento, que es el conjunto vacío. Eso es diferente del conjunto vacío que no tiene ningún elemento.

tu tambien dices

¿Quieres decirme que "hay 3 manzanas en el escritorio, si las tomas todas, hay 0 manzanas en el escritorio?" ¿Todavía no veo el número "0"?

¡Sí, tienes razón ! Hay$0$manzana en el escritorio y no ves el número$0$. Hay muchas otras cosas que no ves. Por ejemplo, no ves el lado oscuro de la luna, pero no dudarías de que está ahí. No ves el Sol de noche pero sabes que existe incluso de noche.

¿Qué pasa con los números negativos? esos tampoco existen? Entonces, cuando pides un préstamo y le debes al banco una tonelada de dinero, ¿no es real? Si acepta números negativos, también debe aceptar cero .

3) conjuntos incontables --- Supongo que esta es una versión más sofisticada de tu problema con el infinito . Entonces, ¿podemos aceptar la existencia de (distintos de cero;) números naturales? Decir$1,2,3,\dots$? Si es así, entonces es fácil mostrarle un conjunto incontable: tome el conjunto que consta de todos los subconjuntos de$\{1,2,3,\dots\}$.

No son las matemáticas sino la física las que se basan en estas "mentiras". En matemáticas, asumimos (si somos platónicos) que objetos como los números reales "realmente existen", solo que no en el mundo físico, y entonces todo tiene sentido. Algunas personas fingen que cuando hacen matemáticas, solo combinan axiomas y reglas de derivación para probar teoremas; estas personas tienen que tomar como un artículo de fe el hecho de que su sistema de axiomas elegido (por ejemplo, ZFC) es consistente, de lo contrario todo su esfuerzo no tiene sentido.

Cuando las matemáticas se aplican a la palabra real, por ejemplo, en física, a menudo se hacen algunas aproximaciones, como el hecho de que (al menos en la física clásica) un sistema de coordenadas cartesianas describe el espacio y la línea real describe el tiempo. Estas aproximaciones se pueden explicar matemáticamente: tener en cuenta la discreción en general solo alterará ligeramente los resultados; pero complica todo mucho.

Algunas matemáticas no son así, por ejemplo, cuando se realiza una encuesta, los estadísticos calculan la desviación estándar; esto tiene sentido incluso si no cree en los números reales; son solo una construcción teórica introducida para comprender fenómenos discretos. En última instancia, todo se reduce a un razonamiento finitista, cuya validez, sin embargo, descansa en alguna creencia infundada en la consistencia de algún sistema de axiomas.

Por último, pero no menos importante, ¿por qué te opones al cero? Si toma una regla y marca una clavija cada pulgada, entonces se pregunta "¿cuántas clavijas necesito para saltar de 2 a 3 pulgadas"? La respuesta es$1$. Entonces, "¿cuántas clavijas necesito para saltar de 2 pulgadas a 2 pulgadas"? La respuesta es cero. Puedes entender los números negativos de esta manera.

Además, cero manzanas es el número de manzanas que quedan después de que te las has comido todas. Y hay muchos más ejemplos, de hecho se escribió un libro entero sobre el tema.

Parece que su premisa para que las matemáticas sean una 'mentira' es que su trasfondo teórico no se puede aplicar completamente al mundo real (por ejemplo, tener la distancia más pequeña en el mundo real, pero no en matemáticas). Si así es como defines una mentira, seguro, pero las matemáticas son una ciencia abstracta y no estoy seguro de por qué crees que se supone que tiene ciertas propiedades que son ciertas en el mundo real: la abstracción es en realidad el punto central.

Se han ofrecido soluciones a la paradoja de Zeno, no estoy seguro de lo que quiere decir con "pero no hablo de soluciones. Estoy diciendo "esto es LÓGICO". Pero no es VERDADERO". De hecho, la paradoja de Zeno muestra la mentira del mundo real, ya que Zeno impugnó que el movimiento no existe y es una ilusión.

"¿Quieres decirme que" hay 3 manzanas en el escritorio, si las tomas todas, hay 0 manzanas en el escritorio? "Todavía no veo el número "0"?" -- cierto, pero tampoco ves el número 3 cuando hay 3 manzanas en el escritorio, ¿correcto? 0 se usa para indicar la falta de objetos, y su definición es un poco más complicada que la definición de otros números enteros, y por una razón (se puede usar de manera diferente en diferentes ramas de las matemáticas). Además, si desea una definición real de cero, piense en no moverse, no aumentar de peso, no progresar; todo esto puede verse esencialmente como la suma de cero.

Un conjunto vacío es un conjunto (que, de nuevo, es un concepto abstracto) que no tiene elementos. Cuidado con las palabras: no es que tenga 'nada' como elemento, es más bien que no tiene elementos en absoluto. Aquí, todo se reduce a la semántica de la definición, pero una vez más pareces estar trazando paralelos con la vida real y tratando de encontrar una entidad correspondiente. No veo muy bien por qué ese debería ser el enfoque: estamos hablando de matemáticas, no de física.

Con respecto al conjunto de los números Reales, de nuevo, la misma historia. No sé si puedes encontrar un conjunto incontable en el 'mundo real' (aunque supongo que podrías negar que el conjunto de puntos de cualquier objeto es incontablemente infinito, porque a medida que te acercas obtendrás más y más partículas , y son nuestras limitaciones las que no nos permiten ver átomos pasados). Pero ese no es el punto. Las matemáticas se basan en algunas ideas abstractas, y es cierto que no todas ellas se reflejan necesariamente en la naturaleza. Sin embargo, eso no hace que las matemáticas se basen en 'mentiras'.

Para concluir algunas de sus respuestas:

1. Las Matemáticas son diferentes de la Física. No podemos compararlos completamente entre sí. Las matemáticas son una ciencia abstracta, mientras que la física es una ciencia natural. Entonces son de diferentes tipos.

2. Deberíamos elegir un sistema axiomático antes de hablar de un teorema. (como ZFC).

3. Los conceptos abstractos son parte de las matemáticas, no de la física. Podemos imaginar que existe un número mayor que cualquier número. ¡Ese número es el infinito! ... Todavía no sé si existe en la física o no. Por ejemplo, "¿¡el mundo es infinito o no!?"... "¡Hay un nuevo mundo dentro de un agujero negro o no!" ... Pero en matemáticas, podemos imaginarlo. Entonces ese cero y otras abstracciones.

Todavía me encantaría escuchar más respuestas y comparaciones con la naturaleza.

Con respecto al infinito, aquí está mi opinión. Cuando decimos, por ejemplo, que hay una infinidad de números naturales, sólo queremos decir que no hay un número mayor. Cada vez que sumas 1 a un número, obtendrás otro número aún mayor. Nada muy profundo allí. Decir lo contrario complicaría enormemente incluso la aritmética básica.

Incluso puede ser posible eliminar el uso de la palabra "infinito" (o cualquier noción equivalente) en la mayoría de las matemáticas, si no en todas. Puede que no sea más que una abreviatura conveniente. Cuando decimos, por ejemplo, el límite de alguna expresión cuando x tiende a infinito, fácilmente podríamos haber dicho, el límite cuando x crece sin límite. Este último tendría la ventaja de que no habría confusión sobre la existencia de algún tipo de punto final llamado "infinito".

Como una forma indirecta de responder a esta pregunta, me gustaría traer un ejemplo de la mecánica ondulatoria que me dijeron a principios de este semestre. Físicamente, cuando una onda electromagnética golpea un conductor perfecto, digamos desde la izquierda, la onda desaparece a la derecha del conductor. Lo que sucede matemáticamente es lo siguiente: las cargas emiten una onda que es el espejo exacto de la original, anulándola para todo tiempo y espacio a la derecha del conductor. Ahora, una pregunta natural en este escenario es, ¿las dos ondas a la derecha del conductor son reales, en realidad se extienden infinitamente, o realmente ya no hay ninguna onda?

La respuesta a esta pregunta es: la pregunta no tiene sentido físico. La física se ocupa de cantidades medibles; puede preguntar "cuál es el campo eléctrico a la derecha", y ambas interpretaciones de lo que 'realmente' está sucediendo le darán la misma respuesta (correcta).

De la misma manera, las matemáticas se construyen sobre abstracciones. La cuestión de si estas abstracciones son 'reales' o no no es matemática (ni lógica), sino filosófica; las matemáticas son la base de nuestra sociedad tecnológica, que funciona bastante bien, lo cual es la prueba de que las matemáticas son válidas en el mundo real.

Al leer estas respuestas, estoy bastante seguro de que casi todo ha sido respondido, excepto por el tratamiento del conjunto vacío. Por ahora, creo que podemos decir que$\infty$no es un número, sino una convención conveniente que se refiere a una convención ilimitada.$0$es un número y se refiere a algo muy concreto, pero nadie (creo) ha dicho todavía nada sobre cómo surgieron los sistemas numéricos. Si bien creo que mucha gente sabe que nuestros sistemas numéricos posicionales actuales (como binario o hexadecimal para programadores, decimal para la vida cotidiana) son desarrollos relativamente recientes. Pero muchos sistemas numéricos no tienen un símbolo para el 'cero'. ¿Por qué lo harían? Lo usamos en nuestro sistema posicional todo el tiempo: cuando escribimos 102, nos referimos a 1 100, 0 10 y 2 1. Confiamos en cero todo el tiempo. Pero sin depender de un sistema numérico posicional, la única vez que uno necesitaría cero sería cuando se refiera a... nada. No hay manzanas en el escritorio y no hay manzanas en el escritorio. ¿Merece eso su propio número?

Creemos que sí, y es útil para ello.

Pero esto es muy diferente al conjunto vacío. Pensamos en conjuntos de cosas todo el tiempo, incluso si no lo llamamos explícitamente conjunto. Tenemos una caja de bombones, por ejemplo. Esto es como decir que tenemos un juego de bombones, o quizás tenemos un juego de cajas que pueden contener bombones con exactamente un elemento. ¿Qué sucede cuando nos comemos todos los chocolates (o como sucede en ocasiones, los chocolates no saben bien y los tiramos)? Entonces ahora o la colección 'juego de chocolates' está vacía. Pero hasta que tiremos la caja, nuestro 'juego de cajas' todavía tiene una cosa.

Creo que tal vez el problema que está identificando con el conjunto vacío está relacionado con el concepto de declaraciones vacías de verdad . Por ejemplo, el conjunto de elefantes rosados ​​voladores que contribuyeron tanto al gobierno de Nephireti como al de Hitler está vacío. Y todos esos elementos están justo en frente de mí. Todos esos elefantes también están versados ​​en cálculo. Etcétera. El problema con las cosas vacías es que no tienen sustancia: no se pueden encontrar contraejemplos dentro del conjunto si está vacío. Es muy problemático.

Pero al igual que el número cero, el conjunto vacío es útil. Lo usamos todo el tiempo, es una idea útil. Esto es similar al número 7: es una idea útil que puede no ser del todo obvia. Durante un tiempo, la gente tuvo problemas para distinguir entre una cantidad y una cantidad de objetos. Por ejemplo, ¿es el '7' en '7 ovejas' diferente al '7' en '7 vacas'? ¿Tiene sentido hablar de este '7' aparte de algún tipo de referencia de conteo? Lo hacemos todo el tiempo, pero no es tan obvio hacerlo.

Esa es mi opinión sobre el tema, de todos modos.

(Descargo de responsabilidad: no soy un lingüista capacitado ni un psicólogo, así que tome mis afirmaciones con pinzas)

Parte de su preocupación no es sobre las matemáticas o la física, sino sobre el idioma inglés. Hay una idea famosa de que "el lenguaje constriñe el pensamiento".

Un ejemplo de esto es la noción de degeneración. En ingles se puede decir

There is/are <quantity> apple(s) on the desk.

donde es un entero positivo. Pero en inglés natural , uno no puede decir

There are zero apples on the desk.

En cambio, uno expresa este caso degenerado con una construcción lingüística diferente, por ejemplo

There are not any apples on the desk.

("no hay manzanas" es una abreviatura de esto: ver aquí ). En esta situación, uno no responde a la pregunta "¿cuántas manzanas hay en el escritorio?" pero en cambio rechaza la premisa de que hay manzanas en absoluto.

Debido a que el lenguaje trata los casos de manera fundamentalmente diferente, esto da forma al pensamiento de las personas sobre la cantidad y les dificulta pensar en "cero" como una respuesta a una pregunta del tipo "cuántos".

Esto se confunde aún más con palabras como "nada". cuando la frase

There is no thing on the desk.

se acorta a

There is nothing on the desk.

la gente todavía piensa que este último es lo mismo que el primero: un rechazo a la afirmación de que hay cosas sobre el escritorio. El peligro es cuando uno tiene la idea de que podemos usar una palabra como "nada" para responder a la pregunta "¿qué hay en el escritorio?", pero todavía cree que responder la pregunta sin rechazarla significa aceptar la premisa implícita de que hay algo. en el escritorio.

Esa persona tiene una cantidad increíble de problemas para clasificar todos los juegos de palabras clásicos de "nada es algo".

El conjunto vacío y el 0 son fáciles. El conjunto vacío es un conjunto que no tiene subconjuntos propios y su cardinalidad es 0. El concepto importante aquí es que si tienes 0 manzanas en tu escritorio, no puedo tomar una manzana de tu escritorio, y podré ver eso.

Si tuviera 5 manzanas en su escritorio, habría un mapeo de 1 a 1 entre el conjunto de dígitos en mi mano y el conjunto de manzanas en su escritorio, quedando 0 elementos en cualquiera de los conjuntos. Ambos conjuntos tendrían cardinalidad 5. Puede definir <, = y > considerando qué conjunto, si alguno, tiene elementos sobrantes después del mapeo. Ahora puedo tomar una manzana de tu escritorio y cuando asignas el subconjunto adecuado que dejo contra tu mano, verás que te falta una manzana (o te ha crecido un dígito adicional).

El infinito es más complicado. El conjunto de los enteros pares es un subconjunto propio del conjunto de los enteros y existe una correspondencia 1 a 1 entre el conjunto de los enteros y el conjunto de los enteros pares, ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Esta propiedad define infinito, y en este caso ambos son contables.

Hay un mapeo 1 a 1 entre el conjunto de números enteros y: el conjunto de números racionales; el conjunto de números irracionales que son la raíz de un polinomio entero, por lo que estos también son contables.

El conjunto de números trascendentales es mucho más grande que cualquiera de estos conjuntos y se llama incontable (es decir, no hay una correlación de 1 a 1 entre el conjunto de números enteros y el conjunto de números trascendentales, quedan números trascendentales cuando el conjunto de números enteros está agotado). El conjunto de los números reales está formado por los conjuntos de los números enteros, los números racionales, los números irracionales que son la raíz de un polinomio entero y los números trascendentales, por lo que es incontable.

El siguiente infinito más grande conocido es el conjunto de todas las funciones de valor único (ver http://www.math.utah.edu/~pa/math/sets/FgtR.html ).