¿Por qué se toma el álgebra SU(2)SU(2)\mathrm{SU}(2) sobre el campo complejo?

El álgebra de la mentira de S tu ( norte ) esta compuesto por el norte × norte matriz antihermitiana con traza nula sobre el campo real, pero los físicos prefieren utilizar matriz hermitiana. ¿Significa esto tomar el álgebra sobre el campo complejo? Si es así, ¿por qué lo haces de esta manera?

Queremos que los operadores sean hermitianos porque tienen valores propios reales. Así que en lugar de escribir un elemento de S tu ( 2 ) como mi X con X antihermitiano, lo escribimos como mi i X con X hermitiano. Esto es diferente a complicar el álgebra.
por favor, tu ( norte ) = tu ( norte , C ) es un álgebra de mentira real . En particular, su espacio vectorial subyacente es un espacio vectorial real . Relacionado: physics.stackexchange.com/q/321230/2451
Gracias a todos, estaba imaginando algo como lo que habían dicho, pero estaba un poco confundido por una afirmación en Wikipedia, que ahora entendí bien.

Respuestas (1)

¿Significa esto tomar el álgebra sobre el campo complejo?

No.

  • Las matrices antihermitianas son un espacio vectorial sobre los números reales, con una estructura algebraica dada por el conmutador ( A , B ) ↦ [ A , B ] .
  • Las matrices hermitianas también son un espacio vectorial sobre los números reales, y también tienen una estructura de álgebra que ahora está dada por i veces el conmutador ( A , B ) ↦ i [ A , B ] .

En ambos casos, las matrices actúan sobre vectores de valores complejos, pero el espacio vectorial (y por tanto el álgebra) que forman es sólo sobre los números reales.

La razón por la que los físicos prefieren esta convención es que mantiene reales los valores propios.

¿Por qué se toma el álgebra SU(2)SU(2)\mathrm{SU}(2) sobre el campo complejo?
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