Convenciones de Lie Algebra: Hermitian vs. anti-Hermitian

Considere el álgebra de Lie de S tu ( 2 ) .

Para encontrar los generadores infinitesimales linealizamos sobre la identidad

tu = I + i α T
dónde α es un pequeño parámetro. Para encontrar la forma de T usar la condición det ( tu ) = 1 encontrar Tr ( T ) = 0 y también tu † tu = I dar T = T † hermitiano.

Pero en lugar de linealizar como

tu = I + α T
encontraríamos las condiciones Tr ( T ) = 0 y T = − T † anti-hermitiano, lo que aparentemente da como resultado un álgebra de mentira diferente. Creo que el primer enfoque es el que se usa generalmente (y da como resultado una respuesta más agradable). ¿Existe alguna regla que determine si el factor de i debe utilizarse en este proceso, o es sólo una cuestión de conveniencia?

Le han dado buenas respuestas, así que solo intervendré para decir que la razón por la que usamos generadores hermitianos es que a menudo estamos interesados ​​​​en convertirlos en operadores cuánticos. Que corresponden a observables sólo si son hermíticos.
@Uldreth Ese es realmente un punto excelente que estaba olvidando. De hecho, no puedo creer que nunca haya sacado a relucir este pensamiento, porque la convención del físico siempre me ha irritado un poco, hasta ahora. Lo cual es extraño ahora que lo pienso, porque siempre he encontrado una visión teórica de la medición de QM, con un fuerte énfasis en los observables, la más esclarecedora.
@Uldreth, si bien tiene razón, su observación es a menudo fuente de confusión con grupos no compactos, particularmente Lorentz, cuando los usuarios olvidan que, en irrepeticiones no unitarias de dimensión finita, no es posible tener los generadores de impulso como hermitian si los generadores del compacto s o ( 3 ) parte también son hermíticos.

Respuestas (2)

Estrictamente hablando, la primera convención es casi un abuso de la notación, ya que no existe un álgebra de Lie matricial hermítica, al menos con el conmutador matricial habitual como corchete de Lie. Para entender esto, haz lo siguiente:

Ejercicio Demostrar que el corchete de mentira de dos matrices hermitianas X , Y es hermitiano sesgado , es decir [ X , Y ] † = − [ X , Y ]

y así el álgebra hermítica putativa no puede cerrarse bajo el corchete de mentira. Sin embargo, uno puede hacer trampa o abstraerse (dependiendo de su punto de vista) un poco y definir:

L ( X , Y ) = d mi F − i ( X Y − Y X )

y esta operación binaria es de hecho asimétrica, bilineal y cumple la identidad de Jacobi, por lo que uno puede, en este nivel abstracto, definir un álgebra de Lie de matrices hermitianas. Nuestro nuevo soporte de mentira L también conserva la ausencia de huellas, por lo que se puede considerar esta álgebra como el álgebra de Lie de S tu ( norte ) .

Esto es, de hecho, lo que estamos haciendo aquí por la conveniencia de trabajar con matrices hermitianas.

El álgebra de mentira de matrices hermitianas sesgadas sin trazas equipadas con el soporte de conmutador habitual es el álgebra de mentira "correcta" cuando uno insiste en usar el soporte de conmutador L ( X , Y ) = d mi F X Y − Y X . Esta sería la convención habitual en un texto de matemáticas, por ejemplo. Si vuelves a hacer el ejercicio, verás que el conmutador de dos matrices sesgadas-hermitianas vuelve a ser hermitiana, por lo que ahora el álgebra se cierra bajo el corchete de mentira habitual.

el factor de i es generalmente una cuestión de convención. Esencialmente, se reduce a elegir qué constante te gustaría sentar frente a la ecuación definitoria,

[ T a , T b ] = F a b C T C

de las constantes de estructura F a b C del grupo Mentira. Podríamos tener en cambio un factor de i o cualquier constante en nuestra definición y es una cuestión de convención.

También hay cierta libertad para elegir la normalización del 'producto interno' T r ( T a T b ) aunque hay restricciones dependiendo de si el grupo es compacto por ejemplo.

En mi propia experiencia, los físicos mantienen un factor de i explícito y en la literatura matemática generalmente se omite.

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