Recientemente, matemáticos y físicos teóricos han estado estudiando la Teoría Cuántica de Campos (y la renormalización en particular) por medio de objetos geométricos abstractos llamados motivos . Entre estos investigadores se encuentran Marcolli, Connes, Kreimer y Konsani. Puedes leer sobre el trabajo de Marcolli aquí *.
Ahora, en el artículo de wikipedia sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, hay un breve párrafo sobre los diagramas de Wyld. Allí se afirma que son similares a los diagramas de Feynman estudiados en QFT. Dado que los motivos y otros enfoques algebraicos se utilizan actualmente para estudiar estos diagramas de Feynman, me preguntaba si estos enfoques también podrían ayudar a estudiar las ecuaciones de Navier-Stokes.
¿Si es así, cómo? ¿Y hasta qué punto podrían potencialmente ayudar a resolver el (in) famoso Problema del Milenio? ¿Si no, porque no?
Tenga en cuenta que estoy lejos de ser un experto en cualquiera de estos campos.
Gracias de antemano.
* (Me gustaría incluir más hipervínculos a los libros y artículos de los respectivos científicos, pero como soy un usuario nuevo no puedo hacerlo. Puede encontrar mucha más literatura simplemente buscando los nombres de estos investigadores. )
Aunque no soy un experto en ninguno de los temas, creo que es seguro decir que tal aplicación es muy poco probable.
En primer lugar, tengo entendido que los motivos surgieron en relación con la teoría perturbativa del campo cuántico. Es decir, en la Teoría Cuántica de Campos perturbativa llegas a un punto en el que tienes que calcular diagramas de Feynman individuales y esto puede relacionarse con períodos de ciertos motivos. Por lo general, el problema se puede separar en alguna parte teórica grupal, donde se calculan los casimires, las trazas de la matriz gamma, etc. Al final lo que te queda es una suma de términos, cuyos denominadores son productos de algo como , la estructura precisa está determinada por la conservación de la cantidad de movimiento en cada vértice y la regla es que debe integrar la cantidad de movimiento en cada bucle.
Si hay suficientes factores, el denominador tiene una estructura de polos interesante. Básicamente tienes un montón de hiperboloides que se cruzan (esa parte en la que no he pensado detenidamente). Ahora, a los geómetras algebraicos les gusta pensar en términos geométricos y tienen sus propios nombres para esta situación: estás calculando un período de algún 'motivo' (debe estar relacionado con los polos del denominador).
Por supuesto, los físicos han hecho estas integrales mucho antes de que los matemáticos se interesaran por ellas (¿otra vez?). Los trucos básicos son introducir parámetros de Feynman o usar la representación de Schwinger. Por ejemplo, Marcolli usa esta representación en los artículos, también habla de motivos. De manera similar, Connes y Kreimer parecen aclarar principalmente las construcciones, que conocían las personas que calcularon diagramas QED de orden de bucle 5 (es decir, cómo cortar diagramas divergentes). Aunque probablemente no entiendo las partes más sofisticadas de su trabajo.
Ahora, por lo general, no se enfatiza, pero muchas ecuaciones diferenciales parciales pueden tratarse perturbativamente mediante métodos de diagramas de Feynman. Esencialmente, uno solo considera diagramas de árbol de un QFT correspondiente. Sospecho que estos son los diagramas de Wyld.
En cualquier caso, el Problema del Milenio pide la existencia de ciertas soluciones, dado que los métodos de diagramas son en su mayoría una herramienta de cálculo, es muy poco probable que puedan serle útiles. Dado que la conexión de QFT con motivos es calculada, es poco probable que sean útiles.
No soy absolutamente ningún experto en el campo, pero tal vez este artículo de Moise y Temam pueda estar relacionado con su pregunta.
willie wong
max müller