Regularización del efecto Casimir

Consulte la brillante publicación de Terry Tao sobre la regularización de la función zeta aquí (nunca entendí el tema hasta que leí esta publicación). La respuesta corta es que todos calculan lo mismo, las asintóticas (adecuadamente definidas) de la suma divergente.

Si bien, no sé si existe una prueba general, creo que el efecto Casimir de una teoría cuántica de campos renormalizable debería entenderse completamente mediante una teoría de renormalización sobre variedades con frontera. La característica clave es que, en general, no se puede despreciar la renormalización de las constantes de acoplamiento en los términos de contorno. Usando esta estrategia, Bondag y Vassilevich observaron que la renormalización del término de tensión superficial (la acción completa que incluye los términos superficiales se da en la ecuación 44) proporciona un contratérmino que cancela un término divergente en la energía de Casimir de una bola dieléctrica que no se puede cancelar. por la resta de energía del punto cero (como señalaron los mismos autores junto con Kirsten en un trabajo anterior). En el trabajo posterior, los autores verificaron que el modelo que incluye los términos de superficie es renormalizable en un ciclo.

(Este argumento es para un sistema unidimensional, pero se pueden dar argumentos similares en dimensiones más altas. Trabajamos en unidades con$c = \hbar = e = 1$).

Supongamos que tenemos algún procedimiento regulador parametrizado por un corte de impulso$\Lambda$. Entonces, por distancia$L$entre dos placas paralelas, podemos expandir la suma de energía regularizada en potencias de corte como

Esto muestra que (en el límite de corte grande, de modo que el$O(1/\Lambda)$términos desaparecen) la fuerza proviene únicamente de$c_L$, que de hecho es independiente del corte! Uno esperaría que el término sea realmente independiente de todos los detalles del regulador; la publicación de Terence Tao (ya mencionada en la respuesta de Aaron) prueba esto en un caso especial, es decir, el bosón libre sin masa.

Bien podrías haber hecho la misma pregunta de cualquier cálculo en mecánica cuántica: ¿por qué diferentes reguladores para cantidades formalmente divergentes dan el mismo resultado? La respuesta es que, suponiendo que esos reguladores no rompan simetrías importantes que afectan nuestras mediciones (como, por ejemplo, la invariancia de Lorentz), los reguladores solo interfieren con la física en el UV y dejan la física del IR igual. Si estamos interesados ​​en la física de baja energía, los diferentes reguladores dejarán intactas las cantidades que nos interesan y modificarán solo los detalles irrelevantes de alta energía. ¡Esto no es un milagro! Consulte también la discusión en: ¿Qué técnicas de renormalización están disponibles para 3+1 QED?

En el artículo original de Casimir, presentó una derivación que muestra que cualquier elección "sensata" de regulador dará el mismo resultado. Esto es esencialmente lo que dice Terry Tao en su publicación de blog, pero su publicación es bastante detallada y tal vez una presentación más digerible podría ser útil. Dice así:

En una caja unidimensional, las frecuencias se cuantifican a las de las ondas planas,$\omega_n=\tfrac{\pi}{\ell}n$dónde$\ell$es el tamaño de la caja. Definamos entonces

Imaginemos ahora que tenemos un par de lugares separados a distancia$a$, dentro de una caja más grande de tamaño$L$, mostrado a continuación$^1$:

si nos vamos$L$fijo y variar$a$, la fuerza sobre las paredes de nuestras placas a distancia$a$es$-dE/da$. la energia de la$L-a$lado de la caja es

y si tomamos el límite continuo$L\rightarrow\infty$, obtenemos

Bien, ahora solo nos importan las partes de esta expresión que dependen de$a$, ya que vamos a diferenciar con respecto a$a$. Aislando estos términos,

Ahora, a menudo es un misterio para la gente por qué, por ejemplo, las manipulaciones esotéricas como la regularización zeta dan la respuesta correcta. El argumento anterior desmitifica por qué los buenos reguladores son buenos reguladores: puede expandir la diferencia entre la suma real sumada a un límite y la suma zeta (o cualquier suma, tal vez la suma del núcleo de calor) usando Euler-Maclaurin y mostrar que hay un universal pieza que no es tocada por la elección del corte. Las cosas malas solo pueden suceder si los reguladores rompen las simetrías.

Le preocupa que diferentes geometrías o dimensiones no funcionen, ¡pero funciona! Mientras el regulador no rompa la simetría de la geometría, está bien. No está claro cuál es tu$2d$El ejemplo escalar que tienes en mente es, pero si es un problema tipo Casimir, entonces la parte infinita ciertamente no dependerá de la separación de placas, así que estamos bien. Una respuesta anterior e interesante señala que, a veces, si las placas tienen un límite extraño, el regulador debe hacer algo más que "restar la energía del punto cero". que respeta las simetrías de la frontera.

$^1$_{Imagen (y derivación) robada descaradamente del libro de texto QFT de Matt Schwartz.}

Las cantidades que podemos medir en el laboratorio son finitas. Tenemos modelos matemáticos que, cuando se usan de manera ingenua, arrojan valores infinitos para las cantidades que podemos medir. Considere estos artefactos de valores infinitos del modelo/herramienta/método de cálculo matemático específico. Si uno puede identificar formas en las que un tipo particular de infinito surge consistentemente en un modelo/método matemático, entonces uno puede seguirle la pista y "restarlo si está apagado" (es decir, volver a normalizarlo) de manera consistente.

Si, para una forma particular de calcular, los infinitos surgen de manera aleatoria... entonces, no hay forma de eliminarlos de una manera matemáticamente consistente y no escuchas sobre esa forma en particular.