¿Podría la ecuación de Schrödinger ser no lineal?

Hay versiones no lineales de la ecuación de Schrödinger que son completamente irrelevantes para su pregunta. Estas son como la ecuación de Gross-Pitaevski, son ecuaciones de campo clásicas no lineales que describen el flujo de un superfluido auto-interactivo o BEC. Estas ecuaciones no tienen nada que ver con la evolución de las amplitudes de probabilidad y no las consideraré más.

La teoría de la probabilidad es exactamente lineal.

Para comprender por qué el concepto de una ecuación no lineal para las amplitudes de probabilidad no es razonable, y muy probablemente completamente imposible, considere la primera probabilidad clásica. Supongamos que tengo una ecuación clásica de movimiento de la forma

donde el campo vectorial V describe el comportamiento futuro como un flujo en el espacio de fase, coordinado por x. Ahora puedo preguntar cuál es la evolución de una distribución de probabilidad$\rho(x)$, si tengo un conocimiento incompleto de la posición inicial.

La ecuación de evolución se determina considerando la probabilidad de terminar en una pequeña caja que rodea a x'. Esta probabilidad es la suma de todos los caminos posibles que conducen a x' veces la probabilidad de estar al principio del camino. Esta suma da la ecuación de probabilidad:

El punto es que esta ecuación es exactamente lineal, por razones fundamentales. Es imposible siquiera concebir un término no lineal en la ecuación de evolución de una distribución de probabilidad, porque la definición misma de probabilidad es falta de información, representada por un espacio lineal.

Tenga en cuenta que las distribuciones de probabilidad clásicas se definen en todo el espacio de fase, por lo que son enormes ecuaciones lineales dimensionales que incluyen completamente la dinámica no lineal si se restringe a distribuciones de probabilidad nítidas de función delta en x. La única diferencia con la mecánica cuántica es que no hay distribuciones nítidas de función delta en presencia de observables que no conmutan en todos los observables. De lo contrario, los dos tipos de descripciones son similares.

La mecánica cuántica mezcla amplitudes y probabilidades

Si tiene un sistema de mecánica cuántica, la función de onda se mezcla con la probabilidad clásica de una manera no trivial. Si considera un sistema cuántico de dos partículas entrelazadas de espín 1/2 en un singlete de espín, la proyección de la función de onda en una de las dos partículas es una matriz de densidad que es una probabilidad clásica.

Esto es extremadamente importante de preservar, porque las probabilidades no están correlacionadas localmente, por lo que si hubiera alguna forma de extraer el componente lejano de la función de onda de espín, casi seguro que podría usar esto para señalar más rápido que la luz, porque puede colapsar la función de onda donde se encuentra, y la matriz de densidad lejana no tendría una interpretación de probabilidad.

Estos tipos de teorías no lineales son tan difíciles de concebir que Weinberg sugirió en la década de 1960 que la mecánica cuántica no tiene absolutamente ninguna deformación de ningún tipo que sea consistente con la no señalización. Aunque esta conjetura no está probada, que yo sepa, es ciertamente plausible, y no hay deformaciones no lineales que puedan servir como contraejemplos (el enlace a este documento acaba de ser publicado mientras escribo por Oda).

Es un error pensar que existe una deformación no lineal de la ecuación de amplitud de Schrödinger. Tales modificaciones no existen, y casi con seguridad no pueden existir. Si el mundo obedeciera tal ecuación con una pequeña no linealidad, diferentes ramas de Everett estarían interactuando, y seríamos capaces de ver los fantasmas de nuestros otros yos, y otras tonterías. Excluiría cualquier forma de interpretación de variables ocultas de la función de onda, y casi con certeza conduciría a violaciones de la no señalización.

@Ron Maimon ha dado la respuesta canónica a esto: la función de onda son las probabilidades, y para preservar las probabilidades, uno debe tener una ecuación lineal (de hecho, también un operador de evolución que preserva la norma).

Ofrezco otro punto de vista, al estilo de cómo Einstein pensaba sobre la relatividad, es decir, dos postulados. El postulado es que no es posible resolver problemas NP-completos en tiempo polinomial. Abraham y Lloyd demostraron que si la mecánica cuántica fuera no lineal en absoluto, esto sería posible.

Aaronson tiene un buen artículo, cuyo comienzo hace referencia a una gran cantidad de literatura sobre por qué la mecánica cuántica tiene que ser como es.

Además del artículo clásico de Weinberg citado anteriormente, existe esta versión más corta , y luego los seguimientos de Peres 1989 sobre cómo viola la segunda ley, de Gisin sobre cómo permite las comunicaciones superlumínicas y de Polchinski sobre cómo permitiría un ' Teléfono de Everett.

Más recientemente, existe este argumento matemático contra QM no lineal de Kapustin .

A los físicos les gusta la linealidad porque es más simple. Seguro que has oído el chiste del físico y la vaca esférica . Afortunadamente para nosotros, el fenómeno más interesante de la naturaleza no es lineal.

Hay varias razones para considerar extensiones no lineales de la ecuación de Schrödinger, la más fundamental para mí es que la mecánica clásica lo requiere. De hecho, utilizando la formulación de Hamilton-Jacobi, podemos convertir la mecánica clásica en un formalismo ondulatorio.

que es una ecuación no lineal ya que$Q=Q(\Psi)$. Precisamente su no linealidad rompe el principio de superposición y permite la descripción de sistemas clásicos. No es extraño que la comunidad cuántica que trabaja en decoherencia y clasicismo utilice ecuaciones de Schrödinger no lineales de forma genérica.

con operador no lineal$\hat{G} = \hat{H} + \mathrm{nonlinear{-}corrections}$. Vale la pena mencionar que los términos no lineales se pueden elegir para preservar la norma del vector de estado$||\Psi||^2$. Es decir, la afirmación de que la linealidad es obligatoria para conservar las probabilidades es falsa.

Aunque no es una respuesta muy satisfactoria (o informativa), las ecuaciones no lineales son un dolor de cabeza para resolver, por lo que preferimos evitarlas siempre que sea posible. Tiene sentido que la(s) primera(s) ecuación(es) desarrollada(s) para describir los sistemas cuánticos sean lineales, simplemente porque son las más simples.

Dicho esto, no hay razón para que la teoría "verdadera" que subyace a QM tenga que ser lineal. De hecho, exactamente por la razón que señaló (es decir, que la relatividad general no es lineal), se cree comúnmente que necesitaremos algún tipo de teoría no lineal para explicar adecuadamente el universo en su nivel más básico.