¿Dinámica no lineal debajo de la mecánica cuántica?

Hay exactamente un fenómeno en la mecánica cuántica que es inherentemente no lineal en la función de onda: el proceso de medición , independientemente de la interpretación que elija adherirse, se comporta como un mapa (no determinista) donde un subconjunto de valores propios se amplifica enormemente. , mientras que el resto se atenúa enormemente. Aunque no estoy seguro de cuán útil resultaría pensar en la medición en esos términos.

Existe una forma alternativa de introducir la no linealidad en QM, al nivel de QFT, que su pregunta anterior no admitía. QFT generalmente se presenta como una teoría en términos de un campo cuántico como$\hat\phi(x)$, pero esto no es un operador, es una distribución con valores de operador , que nos permite construir operadores "difuminando" con "funciones de prueba" (que en el procesamiento de señales se llamarían " funciones de ventana ", que creo que pueden ser las mejores manera para que los no matemáticos comiencen a entender este formalismo),

Para obtener una teoría de la probabilidad, tenemos que introducir un estado sobre el$\star$-álgebra de observables que es generada por el$\hat\phi_f$, para cualquier función de prueba que elijamos usar. El estado tiene que ser un mapa semidefinido positivo, lineal complejo y normalizado (lo que significa que$\omega(1)=1$,$\omega(\lambda\hat A)=\lambda\omega(\hat A)$,$\omega(\hat A+\hat B)=\omega(\hat A)+\omega(\hat B)$, y$\omega(\hat A^\dagger\hat A)\ge 0$). Eso es suficiente para que construyamos un espacio de Hilbert (usando lo que se llama la construcción GNS), y luego podemos introducir una interpretación de probabilidad de Born. La forma elemental de construir un estado es introducir un vector de vacío$\left|0\right>$y la acción trivial de los operadores de aniquilación sobre él,$a_f\left|0\right>=0$, y luego para definir$\hat\phi_f=a_{f^*}+a_f^\dagger$y el estado de vacío como$\omega(\hat A)=\left<0\right|\hat A\left|0\right>$, que, con la relación de conmutación entre los operadores de creación y aniquilación, le da el sector de vacío de todos los campos libres cuantificados (pero se pueden construir muchos otros estados ). Tenga en cuenta, sin embargo, que aunque el estado tiene que ser lineal sobre el álgebra para que podamos construir una interpretación de probabilidad, no hay nada que requiera que el mapa de funciones en el espacio-tiempo al álgebra de operadores tenga que ser lineal. Es decir, podemos construir un espacio de Hilbert y una interpretación de probabilidad incluso si$\hat\phi:\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{A};f\mapsto\hat\phi_f$es no lineal.

No se da ninguna razón, pero los axiomas de Wightman insisten en que el campo cuántico debe ser un mapa lineal desde funciones en el espacio-tiempo hasta el álgebra de operadores, y hay una insistencia más abstracta en algo muy similar en los axiomas de Haag-Kastler, así que esta opción es esencialmente no considerada en la literatura. Se abre un mundo diferente si los consideramos. Tenga en cuenta que esto no es tanto una teoría debajo de QM, se trata esencialmente de la relación entre los operadores abstractos que usamos en QM y lo que sea que tomemos para corresponderles en el espacio-tiempo (eso es algo así como debajo, pero es más una pregunta intrínseca eso tiene que ser respondido por cualquier enfoque abstracto de QM, como el artículo de Aaronson que se mencionó en una Respuestaa su pregunta anterior, que es totalmente correcta en lo que respecta).

AFAIK, lo anterior esencialmente no tiene conexión con la gravedad cuántica, el espacio-tiempo no conmutativo o cualquiera de las direcciones de investigación más populares que se encuentran en la literatura actual.