Cambio de base en la ecuación de Schrödinger no lineal

Question

Cambio de base en la ecuación de Schrödinger no lineal

Andrei

En el nivel de campo medio, la dinámica de un condensado de polaritón se puede describir mediante un tipo de ecuación de Schrödinger no lineal (tipo Gross-Pitaevskii), para una función de onda clásica (número complejo) $\psi_{LP}$ . Su forma en el espacio de cantidad de movimiento dice:

\begin{matrix} i \frac{d}{d t} ψ_{L PAG} (k) = [ϵ (k) - i \frac{γ (k)}{2}] ψ_{L PAG} (k) + F_{pag} (k) {mi}^{- i ω_{pag} t} \\ + \sum_{q_{1}, q_{2}} {gramo}_{k, q_{1}, q_{2}} ψ_{L PAG}^{⋆} (q_{1} + q_{2} - k) ψ_{L PAG} (q_{1}) ψ_{L PAG} (q_{2}) . \end{matrix}

$\begin{multline} i \frac{d}{dt}\psi_{LP}(k) =\left[\epsilon(k) -i\frac{\gamma(k)}{2}\right] \psi_{LP}(k) +F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} \\ + \sum_{q_1,q_2} g_{k,q_1,q_2}\, \psi^{\star}_{LP}(q_1+q_2-k) \, \psi_{LP}(q_1)\, \psi_{LP}(q_2). \end{multline}$

La función $\epsilon(k)$ es la dispersión de las partículas (polaritones). Los polaritones son un sistema de no equilibrio, debido a su vida útil finita (tasa de amortiguamiento $\gamma$ ). Por lo tanto, necesitan un bombeo continuo con amplitud $F_p$ en energía $\omega_p$ . Finalmente, existe una interacción no lineal dependiente del momento $g_{k,q_1,q_2}$ que depende de los llamados coeficientes de Hopfield $X$ (funciones simples del impulso) como:

{gramo}_{k, q_{1}, q_{2}} = gramo X^{⋆} (k) X^{⋆} (q_{1} + q_{2} - k) X (q_{1}) X (q_{2})

$\begin{equation} g_{k,q_1,q_2}=g\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_1+q_2-k)\, X(q_1)\, X(q_2) \end{equation}$

¿Cómo se puede transformar la ecuación para $\psi$ al espacio real?

Lagerbaer

Mi intuición y primer intento sería escribir

ψ_{L P} (k) = \int d x e^{i k x} ψ_{L P} (x)

$\psi_{LP}(k) = \int dx e^{ikx} \psi_{LP}(x)$ y sustituimos eso en la ecuación.

Andrei

Gracias @Lagerbaer, seguí tu sugerencia y obtuve

\int d x e^{- i k x} i \frac{d}{d t} ψ_{L P} (x) = \int d x [ϵ (k) - i \frac{γ (k)}{2}] e^{- i k x} ψ_{L P} (x) + F_{p} (k) e^{- i ω_{p} t} + \int d x_{3} d x_{1} d x_{2} \sum_{q_{1}, q_{2}} g_{k, q_{1}, q_{2}} e^{i (q_{1} + q_{2} - k) x_{3}} ψ_{L P}^{⋆} (x_{3}) e^{- i q_{1} x_{1}} ψ_{L P} (x_{1}) e^{- i q_{2} x_{2}} ψ_{L P} (x_{2})

$\int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t}+\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2})$ . Ahora que :) ?

Lagerbaer

La idea general es entonces "comparar coeficientes": debido a que las ondas planas son funciones linealmente independientes, el lado izquierdo y el lado izquierdo deben coincidir en cuanto a coeficientes. Pero mirando lo que tienes, no estoy tan seguro de si mi enfoque ingenuo funciona :-(

Respuestas (2)

Cambio de base en la ecuación de Schrödinger no lineal

Mi intuición y primer intento sería escribir $\psi_{LP}(k) = \int dx e^{ikx} \psi_{LP}(x)$ y sustituimos eso en la ecuación.
Gracias @Lagerbaer, seguí tu sugerencia y obtuve $\int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t}+\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2})$ . Ahora que :) ?
La idea general es entonces "comparar coeficientes": debido a que las ondas planas son funciones linealmente independientes, el lado izquierdo y el lado izquierdo deben coincidir en cuanto a coeficientes. Pero mirando lo que tienes, no estoy tan seguro de si mi enfoque ingenuo funciona :-(

bebop pero inestable · Answer 1

Los términos lineales que parece que puedes manejar. Como consejo general, el significado de estos términos siempre es claro si se integran sobre las coordenadas de momento de cada uno de los campos, usando funciones delta para preservar el valor. Entonces el término no lineal sería

\sum_{q_{1}, q_{2}, q_{3}} gramo (q_{1}, q_{2}, q_{3}) ψ (q_{1})^{*} ψ (q_{2}) ψ (q_{3}) d (- q_{1} + q_{2} + q_{3} - k)

$\sum_{q_1,q_2,q_3} g(q_1,q_2,q_3) \psi(q_1)^*\psi(q_2)\psi(q_3)\delta(-q_1+q_2+q_3 -k)$

Tal vez también pueda ver de esta manera que la estructura está determinada por la invariancia de conservación / traducción del momento. Ahora, cuando integro esto por $\int\!dk\,e^{ikr}$ , el $k$ integral se resuelve trivialmente y me quedo con transformadas de Fourier sobre el $q$ s. Dado que las transformadas de Fourier llevan la multiplicación a la convolución, puedes calcular que obtenemos

\int d r_{123} \tilde{gramo} (r - r_{1}, r - r_{2}, r - r_{3}) {\tilde{ψ}}^{*} (r_{1}) \tilde{ψ} (r_{2}) \tilde{ψ} (r_{3})

$\int dr_{123}\,\tilde{g}(r-r_1,r-r_2,r-r_3)\tilde{\psi}^*\!(r_1)\tilde{\psi}(r_2)\tilde{\psi}(r_3)$

Cuál es más o menos el término no lineal de tercer orden más general que puede escribir. En su caso, también puede reducir esto aún más utilizando las transformaciones de espacio real de $X$ , ya sea conectando directamente a la primera ecuación que escribí, o calculando $\tilde{g}$ y enchufar en el segundo.

Andrei · Answer 2

Aquí está mi intento de respuesta, siguiendo la sugerencia de @Lagerbaer. Primero reemplazamos la Transformada de Fourier por $\psi_{LP}(k)$ ,

ψ_{L PAG} (k) = \int d X {mi}^{- i k X} ψ_{L PAG} (X),

$\begin{equation} \psi_{LP}(k)=\int dxe^{-ikx}\psi_{LP}(x), \end{equation}$

y obten

\begin{matrix} \int d X {mi}^{- i k X} i \frac{d}{d t} ψ_{L PAG} (X) = \int d X [ϵ (k) - i \frac{γ (k)}{2}] {mi}^{- i k X} ψ_{L PAG} (X) \\ + F_{pag} (k) {mi}^{- i ω_{pag} t} + \int d X_{3} d X_{1} d X_{2} \\ \times \sum_{q_{1}, q_{2}} {gramo}_{k, q_{1}, q_{2}} {mi}^{i (q_{1} + q_{2} - k) X_{3}} ψ_{L PAG}^{⋆} (X_{3}) {mi}^{- i q_{1} X_{1}} ψ_{L PAG} (X_{1}) {mi}^{- i q_{2} X_{2}} ψ_{L PAG} (X_{2}) . \end{matrix}

$\begin{multline} \int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)\\+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} +\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times \sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}$

Para simplificar esta expresión, necesitamos aplicar la transformada inversa a ambos lados (multiplicar por $\int dke^{ikx}$ ), obteniendo

\begin{matrix} i \frac{d}{d t} ψ_{L PAG} (X) = \int d X^{'} ψ_{L PAG} (X^{'}) \int d k [ϵ (k) - i \frac{γ (k)}{2}] {mi}^{i k (X - X^{'})} + F_{pag} {mi}^{i (k_{pag} X - ω_{pag} t)} \\ + \int d k {mi}^{i k X} \int d X_{3} d X_{1} d X_{2} \\ \times \sum_{q_{1}, q_{2}} {gramo}_{k, q_{1}, q_{2}} {mi}^{i (q_{1} + q_{2} - k) X_{3}} ψ_{L PAG}^{⋆} (X_{3}) {mi}^{- i q_{1} X_{1}} ψ_{L PAG} (X_{1}) {mi}^{- i q_{2} X_{2}} ψ_{L PAG} (X_{2}) . \end{matrix}

$\begin{multline} i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dk\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{ik(x-x^{\prime})}+F_{p}e^{i(k_{p}x-\omega_{p}t)}\\ +\int dke^{ikx}\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}$

Ahora veamos una integral de la forma $\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}$ , para una función genérica $f(k)$ . Expandimos nuestra función genérica en una serie de Taylor alrededor $k=0$ , y obten:

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{F^{(norte)} (0)}{norte!} \int d X^{'} ψ_{L PAG} (X^{'}) \int d k k^{norte} {mi}^{i k (X - X^{'})} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{F^{(norte)} (0)}{norte!} {(- i)}^{norte} \int d X^{'} ψ_{L PAG} (X^{'}) \partial_{X}^{norte} d (X - X^{'})

$\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkk^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\left(-i\right)^{n}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime}) \end{equation}$

donde hemos utilizado la conocida relación $\int dkk{}^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\left(-i\right)^{n}\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime})$ .

Mover el operador derivado para que actúe sobre $\psi$ (integración por partes), finalmente obtenemos

\int d X^{'} ψ_{L PAG} (X^{'}) \int d k F (k) {mi}^{i k (X - X^{'})} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{F^{(norte)} (0)}{norte!} (i \partial_{X})^{norte} ψ_{L PAG} (X) = F (i \partial_{X}) ψ_{L PAG} (X)

$\begin{equation} \int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(i\partial_{x})^{n}\psi_{LP}(x)=f(i\partial_{x})\psi_{LP}(x) \end{equation}$

Por lo tanto, el primer término de la derecha de nuestra ecuación se simplifica a $\left[\epsilon(i\partial_{x})-i\frac{\gamma(i\partial_{x})}{2}\right]\psi_{LP}(x)$ y nos quedamos con el término de interacción.

\int d X_{3} ψ_{L PAG}^{⋆} (X_{3}) \int d X_{1} ψ_{L PAG} (X_{1}) \int d q_{1} {mi}^{i q_{1} (X_{3} - X_{1})} \int d X_{2} ψ_{L PAG} (X_{2}) \int d q_{2} {mi}^{i q_{2} (X_{3} - X_{2})} \int d k gramo (k, q_{1}, q_{2}) {mi}^{i k (X - X_{3})}

$\begin{equation} \int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dkg(k,q_{1},q_{2})e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}$

Sustituyendo la forma de $g(k,q_{1},q_{2})$ , obtenemos

gramo \int d X_{3} ψ_{L PAG}^{⋆} (X_{3}) \int d X_{1} ψ_{L PAG} (X_{1}) \int d q_{1} X (q_{1}) {mi}^{i q_{1} (X_{3} - X_{1})} \int d X_{2} ψ_{L PAG} (X_{2}) \int d q_{2} X (q_{2}) {mi}^{i q_{2} (X_{3} - X_{2})} \int d k X^{⋆} (k) X^{⋆} (q_{1} + q_{2} - k) {mi}^{i k (X - X_{3})}

$\begin{equation} g\int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}X(q_{1})e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}X(q_{2})e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dk\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_{1}+q_{2}-k)\, e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}$

Y aquí es donde me quedé atascado ..

Cambio de base en la ecuación de Schrödinger no lineal

Andrei

Lagerbaer

Andrei

Lagerbaer

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bebop pero inestable

Andrei

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