¿Podemos encontrar siempre un espacio de Hilbert correspondiente a una región del espacio-tiempo?

Primero, para asociar los espacios de Hilbert, debe elegir una foliación temporal adecuada del espacio-tiempo. Luego, cada hipersuperficie espacial de la foliación será descrita por el estado cuántico en un espacio de Hilbert dado. En otras palabras, el espacio de Hilbert siempre se da para un tiempo fijo. La evolución temporal actuará entonces sobre los observables o estados de este espacio de Hilbert.

Ahora, en las QFT locales tenemos la siguiente condición que se puede imponer en los observables locales:

dónde$R$es una representación de la simetría de Lorentz. Esto es todo lo que necesitas para construir espacios de Hilbert para cada punto$x$de la hipersuperficie similar al espacio: Para cada punto en el espacio$x$construimos el espacio de Hilbert$\mathcal{H}_x$asociado a un conjunto completo de observables locales en el punto$x$, a saber$\{\mathcal{O}_{i}(x),...\}$.

Para construir un espacio de Hilbert de una región dada$A$del espacio, simplemente haga el producto tensorial de los espacios de Hilbert$\mathcal{H}_x$es para$x\in A$:

Lo que hace que la QFT local sea tan especial es que, en principio, todos los observables en esa teoría podrían construirse a partir de campos locales.$\phi(x)$,$\psi_{\alpha}(x)$,$A_{\mu}(x)$y etc. Así que esto significa que el espacio de Hilbert de la teoría está dado por

Esto significa que todos los estados de la teoría están descritos por las superposiciones que puedes hacer con estas copias.$\mathcal{H}_x$. Estados propios de observables no locales como la energía$H$habrá estados entrelazados, por ejemplo, el estado de vacío$|0\rangle$. Es por esto que los observadores acelerados ven el efecto Unruh . El observador acelerado solo tiene acceso a una región$A$de todo el espacio$A\cup A^{c}$debido al horizonte de Rindler , por lo que obtiene una descripción:

eso es claramente un estado mixto. En realidad, si haces todos los cálculos correctamente, obtienes eso para el observador acelerado en aceleración$2\pi/\beta$separar el estado de vacío como:

dónde$E_i$es el valor propio de la energía$H_{A/A^{c}}$restringida solo a la región$A$o$A^{c}$. Haciendo el trazo de la región detrás del horizonte de Rindler obtendrás que la matriz de densidad es:

una matriz de densidad de un conjunto canónico a temperatura$\beta^{-1}$.

Tenga en cuenta que todo esto se basa en el hecho de que cosas como$\bigotimes_{x}\mathcal{H}_x$tiene sentido. Para darle sentido, necesitamos regularizarlo y renormalizarlo. Como señala David M, esto puede no ser posible. Una forma obvia de ver si esto es posible es buscar un regulador de red, luego simplemente hacemos el producto tensorial de cada celda.

Sorprendentemente, la respuesta es no, no siempre podemos encontrar tal descomposición. No soy un experto en este tema, pero puedo señalarles el siguiente seminario impartido por Simeon Hellerman: http://pirsa.org/displayFlash.php?id=17110138 . Una advertencia es que este seminario se basa en el trabajo en progreso, por lo que es posible que este problema no esté completamente resuelto, pero es una pregunta interesante.

Como él señala (y esto está relacionado con las otras respuestas presentadas aquí), si la teoría del campo cuántico continuo tiene una regularización de celosía, entonces esta factorización tensorial debe existir. Sin embargo, para 2d CFT con cargos centrales desiguales$c_{L}\neq c_{R}$no existe una regularización reticular y ya no es evidente si también lo hace la entropía de entrelazamiento. También hay anomalías gravitacionales en dimensiones superiores (ver, por ejemplo , http://inspirehep.net/record/192309?ln=en ), pero no sé si las implicaciones de estas anomalías en la entropía de entrelazamiento se han resuelto de manera similar.

Editar: para obtener más detalles, consulte el documento https://arxiv.org/abs/2101.03320

En realidad, esto se sigue de los axiomas de la QFT matemática. Dadas dos variedades (posiblemente con límites), entonces el espacio de Hilbert correspondiente a la unión disjunta de las dos variedades está dado por el producto tensorial de los espacios de Hilbert en las variedades individuales. Esto corresponde exactamente a esta descomposición.