Las matrices de densidad reducida para fermiones libres son térmicas.

Muchos artículos recientes estudian el entrelazamiento en estados propios de hamiltonianos libres fermiónicos (normalmente en una red) utilizando la suposición básica de que las matrices de densidad reducida son térmicas (p. ej ., Peschel 2003 ). Según tengo entendido, el teorema que necesitamos para proceder con el cálculo del entrelazamiento es el siguiente:

Considere un estado fermiónico, puro o mixto, que cumple el teorema de Wick (es decir, todas las funciones de N puntos se pueden expresar a partir de la función de correlación de 2 puntos). Entonces, la matriz de densidad reducida para un bloque siempre se puede expresar como ρ B ∝ Exp ⁡ ( − β H ) , dónde H = ∑ k C k d k † d k . los d k y d k † son operadores fermiónicos adecuados que se pueden expresar como combinaciones lineales de los originales.

La referencia dada es de Gaudin 1960 . Pero ese artículo solo contiene el teorema inverso: si una matriz de densidad fermiónica es térmica, entonces se sigue el teorema de Wick.

Entonces, mi pregunta principal: ¿Alguien sabe acerca de una prueba de este teorema?

Además: supongo que este teorema está relacionado con el teorema de termalización de QFT en espaciotiempos curvos. ¿Es esto cierto?

Incluso tengo curiosidad acerca de la definición de la matriz de densidad reducida para fermiones idénticos. El espacio de Hilbert completo no es un producto tensorial de los de los dos subsistemas, por lo que puedo ver. Entonces, ¿por qué podemos definir una matriz de densidad reducida para un subsistema?
Sé que esta es una publicación anterior, pero tal vez [esta publicación] [1] y las respuestas/referencias que contiene pueden ser útiles para esta pregunta. [1]: física.stackexchange.com /questions/615689/…

Respuestas (1)

Este será un boceto, pero creo que la finalización de una prueba completa es sencilla.

En primer lugar, la conclusión del teorema es que ρ = C Exp ⁡ ( − β H ) dónde H = ∑ …

La última afirmación puede reformularse diciendo que

H = ∑ k , L C k L d L † d L
es decir, el hamiltoniano es la función bilineal más general de los operadores fermiónicos originales (preservando el número de excitaciones, es decir, que contiene un operador con daga y otro sin ella). Tu forma no es más que la diagonalización de la mía.

Sin embargo, la afirmación anterior es bastante trivial: uno siempre puede escribir ρ como la exponencial de algún operador L = − β H : L es solo el logaritmo de ρ que es calculable (al menos para la mayoría ρ ).

Ahora, la suposición del teorema dice algo acerca de todos norte -funciones puntuales. En particular, aborda funciones de 2 puntos. De esas funciones de 2 puntos, se puede extraer el coeficiente C k L del operador H relacionado con Iniciar sesión ⁡ ( ρ ) . Las funciones de 2 puntos que tienen 0 o 2 operadores en daga en lugar de 1 deben desaparecer de forma idéntica, de lo contrario, el teorema de Wick se viola inmediatamente, contradiciendo las suposiciones del teorema que queremos probar.

El teorema inverso te dice que la matriz de densidad térmica preservará el teorema de Wick. Lo único adicional que tienes que notar es que si el logaritmo L o H no pudo ser bilineal en los operadores, es decir, si hubiera términos adicionales en una expansión de Taylor (que siempre termina para un número finito de operadores fermiónicos), eso modificaría las funciones de punto superior, y porque el teorema de Wick determina inequívocamente todos los puntos superiores funciones en términos de funciones de 2 puntos, se violaría el teorema de Wick.

El teorema de termalización (teorema de Fulling-Davies) que conozco dice que el estado de vacío de una teoría cuántica de campos puede reescribirse en términos de los espacios de Hilbert de los espacios de Rindler izquierdo y derecho, como un estado entrelazado de tipo térmico (con los coeficientes de Boltzmann).

No está claro por qué crees que este teorema de termalización tiene alguna relación con una prueba del teorema de Wick. estructura de mecha de norte -Las funciones puntuales siempre están vinculadas a la termalidad, debido al teorema con el que comenzamos, pero este vínculo no parece tener nada que ver con la descomposición en espacios de Rindler. Así que creo que tu conjetura no es correcta.

Luboš, gracias por tu respuesta, pero no es suficiente. Por supuesto, la matriz de densidad será el logaritmo de "algo" (a menos que tenga algunos valores propios cero). El hecho de que este "algo" tenga esta forma particular no es trivial para mí y requiere más trabajo.
Sobre la relación con el teorema de Fulling-Davies, el enlace que veo es el siguiente. Solo obtienes termalización cuando aparece un horizonte (Rindler, Schwartzschild, etc.), lo que significa que estás trazando algunos grados de libertad: aquellos vinculados a las regiones del espacio-tiempo que ahora están desconectadas de ti. La termalización se debe a este "trazado", ¿no?
Incluso tengo curiosidad acerca de la definición de la matriz de densidad reducida para fermiones idénticos. El espacio de Hilbert completo no es un producto tensorial de los de los dos subsistemas, por lo que puedo ver. Entonces, ¿por qué podemos definir una matriz de densidad reducida para un subsistema?
Estimado San, puede dividir el sistema compuesto en dos subsistemas según las regiones. En ese lenguaje, todo el espacio de Hilbert es un producto tensorial de los espacios de Hilbert de los subsistemas. Los subsistemas son espacios de Fock con operadores de creación. d L , 1... norte L † en un espacio de Hilbert y d R , 1... norte R † para el segundo. La función de onda podría ser antisimétrica en términos de la "posición del fermión n-ésimo", pero aquí se reorganizan parcialmente los fermiones según la posición, no etiquetas arbitrarias, por lo que la antisimetría desaparece en este lenguaje, los 2 espacios de Hilbert, como las regiones, son distinto.
Las matrices de densidad reducida para fermiones libres son térmicas.
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