¿Puede un estado de un solo qubit extenderse de manera no trivial a un estado no puro?

Considere un estado genérico de un solo qubit

ρ = λ 1 | λ 1 ⟩ ⟨ λ 1 | + λ 2 | λ 2 ⟩ ⟨ λ 2 | ∈ H S .
Estoy interesado en entender cuáles son las posibles extensiones de ρ , es decir, los estados ρ ~ ∈ H S mi tal que tr mi ⁡ ( ρ ~ ) = ρ . Si es relativamente fácil encontrar la estructura general de extensiones que son puras, pero menos en el caso más general de extensiones no puras .

En particular, ¿es posible tener una extensión no trivial de ρ que no es una purificación ?

Por no trivial aquí quiero decir que también debe disminuir la cantidad de incertidumbre asociada con ρ . Esto significa que no hay extensiones triviales de la forma ρ ~ = ρ ⊗ σ , y no se construyen extensiones simplemente agregando un conjunto de estados ortonormales a los vectores propios de ρ , es decir, no hay extensiones de la forma ρ ~ = ∑ k λ k | λ k ⟩ ⟨ λ k | ⊗ σ k con λ k los valores propios de ρ .

Respuestas (1)

Seguro. Simplemente tome cualquier purificación aleatoria con un gran espacio de purificación C 2 ⊗ C d , y rastrear el C d componente.

Para dar un ejemplo inventado al azar,

ρ = ( .25 .20 .10 .05 .20 .25 .00 .05 .10 .00 .25 − .15 .05 .05 − .15 .25 )
es una purificación del estado
ρ A = ( .50 .05 .05 .50 )   .

Que el ejemplo no es compatible con las formas especiales ρ ~ usted da arriba se puede verificar directamente a partir de los valores propios de ρ , que son incompatibles con las formas ρ ~ usted da arriba - para ambos ρ ~ , se sostiene que los valores propios de ρ puede escribirse como la suma de dos valores propios de ρ ~ cada uno, que puede probarse fácilmente que no sea el caso.

Para explicar el último argumento con más detalle:
Sea ρ ~ = ∑ λ k | λ k ⟩ ⟨ λ k | ⊗ σ k (que incluye la primera purificación si todos σ k son iguales). Denotamos por m i ( σ k ) los valores propios de σ k . Entonces, los valores propios de ρ ~ son

τ i , k = λ k m i ( σ k )   .
Así, tenemos que
∑ i τ i , k = λ k
(como t r σ k = 1 ) , es decir, cada dos (donde "dos" es la dimensión de la purificación) valores propios de ρ ~ suman un valor propio λ k de ρ .
Se puede comprobar fácilmente que esta propiedad no se cumple para el ejemplo.

Tenga en cuenta que esta riqueza de extensiones es exactamente un problema al calcular el entrelazamiento aplastado , donde uno optimiza extensiones (no puras) de dimensiones arbitrarias.

ah, creo que lo veo ahora, gracias. Solo algunas notas. Supongo que quisiste escribir " puede escribirse como producto de dos valores propios (que aún no parece del todo exacto, pero entiendo lo que quieres decir)? Además, ¿conoces alguna referencia que discuta la estructura general de las extensiones de estado?
@glS De hecho, producto. Y estoy de acuerdo en que es un poco ambiguo, pero con un poco de reflexión debería quedar claro. (Puedo escribir una fórmula si crees que ayuda. Admito que solo se me ocurrió ese argumento mientras escribía la respuesta; originalmente solo dije: "Es aleatorio, por lo que no tendrá esas propiedades"). . No estoy seguro de dónde encontrar algo. sobre esto. Puede probar artículos sobre entrelazamiento aplastado (¿o la tesis doctoral de Christandl?).
si si no es un problema. Diría que el espectro de ρ ⊗ σ viene dada por los productos de los valores propios de ρ y σ , y para el otro caso tenemos una generalización directa de esto. Voy a checar eso, gracias
@glS Espera, no, debería haberlo pensado primero (¿no hay suficiente café?). De hecho, me refiero a la suma: si rastrea la extensión, verá que los valores propios son λ k t r σ k , que son de hecho la suma de dos valores propios de la extensión (a saber λ k m i ( σ k ) , con m i ( σ k ) los valores propios de σ k .
He editado la respuesta.
ah, si por supuesto. Estaba pensando en los valores propios de la purificación, que de hecho son productos de los valores propios de los componentes, mientras te referías a cómo estos valores propios se relacionan con el estado original. Todo claro ahora.
¿Puede un estado de un solo qubit extenderse de manera no trivial a un estado no puro?
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