¿Podemos elegir otra que no sea la integral gaussiana para la fijación del calibre de Faddeev-Popov?

para$U(1)$campo$A_\mu$y su componente de ancho longitudinal$\partial_\mu \alpha(x)$, la fijación de calibre de Faddeev-Popov escrita en Peskin (eq.9.56) es:

$$N(\xi)\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm}\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]\text{det}\left(\frac{1}{e}\partial^2\right)\left(\int \mathcal{D}\alpha\right)\int\mathcal{D}Ae^{iS[A]}\delta(\partial^\mu A_\mu -\omega(x))\\ =N(\xi)\text{det}\left(\frac{1}{e} \partial^2\right)\left(\int\mathcal{D}\alpha\right)\int\mathcal(A)e^{iS[A]}\text{exp}\left[-i\int d^4x\frac{1}{2\xi}(\partial^\mu A_\mu)^2\right]. \tag{9.56}$$

Esta ecuación se sigue de

$$\int\mathcal{D}A e^{iS[A]}=\text{det}\left(\frac{1}{e}\partial^2\right)\left(\int\mathcal{D}\alpha\right)\int\mathcal{D}A e^{iS[A]}\delta(\partial^\mu A_\mu-\omega(x)) \tag{9.55b}$$ dónde $N(\xi)$es el factor de normalización.

Creo que

$$N(\xi)\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm}\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]=1$$ justifica la equivalencia de la segunda ecuación y la ecuación 9.56 (primera línea en la ecuación 9.56).

1. Si es cierto, ¿podemos recoger cualquier integral funcional (por ejemplo,$N(\xi)\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm} f[\omega]$), dónde$f[\omega]$está acotado y es integrable en la ruta) en lugar de Gaussian (es decir,$\int \mathcal{D}\omega\hspace{0.1cm}\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]$) y dividirlo por su valor para normalizar (como$N(\xi)$en la integral de Gauss utilizada anteriormente)?

2. ¿Hay alguna razón en particular para elegir$f[\omega]=\text{exp}\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]$?

3. y si tomo$f[\omega]$diferente de$\exp\left[-i\int d^4x \frac{\omega^2}{2\xi}\right]$, luego el término de fijación de calibre en la segunda línea de la ecuación 9.56 (es decir,$\exp\left[-i\int d^4x \frac{(\partial^\mu A_\mu)^2}{2\xi}\right]$se cambiará a una forma diferente ($f[\partial^\mu A_\mu])$y dará diferentes propagadores. En este caso, aunque tengo un propagador con una forma diferente, mi respuesta final será el elemento de matriz S que debería ser independiente de$\xi$ser lo mismo que el caso de integración de Gauss?