¿Cuál es la restricción sobre el potencial de calibre en los calibres covariantes?

I) La densidad lagrangiana QED sin calibre fijo dice

$${\cal L}_0~:=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} -m)\psi.\tag{1}$$ La densidad lagrangiana QED de calibre fijo en el$R_{\xi}$lecturas de calibre

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 , \tag{2}$$

donde es el término de Faddeev-Popov

$${\cal L}_{FP}~=~ -d_{\mu}\bar{c}~d^{\mu}c, \tag{3}$$

y

$$\chi~:=~d_{\mu}A^{\mu}~\approx~0 \tag{4}$$

es la condición de fijación del calibre de Lorenz .

II) En la trayectoria integral con$R_{\xi}$-fijación de calibre, la condición de fijación de calibre de Lorenz (4) solo se impone en un sentido de promedio cuántico. En general, la condición de fijación del ancho de vía de Lorenz puede ser violada por fluctuaciones cuánticas, excepto en el ancho de vía de Landau.$\xi=0^+$, donde tales fluctuaciones cuánticas se suprimen exponencialmente (en la integral de trayectoria euclidiana rotada por Wick).

III) Si introducimos un campo auxiliar de Lautrup-Nakanishi$B$, la densidad lagrangiana QED en el$R_{\xi}$lecturas de calibre

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal \cal L}_{FP} +\frac{\xi}{2}B^2+B\chi \quad\stackrel{\text{int. out } B}{\longrightarrow}\quad {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 ,\tag{5}$$

cf. esta publicación Phys.SE relacionada. La ecuación de Euler-Lagrange para la$B$-campo lee

$$-\xi B~\approx~\chi.\tag{6}$$

Dado que no hay entradas y salidas externas$B$-partículas, se puede argumentar que el$B$-campo es clásicamente cero, y por lo tanto que la condición de Lorenz$\chi\approx 0$se impone clásicamente, cf. ec. (6), independientemente del valor del parámetro calibre$\xi$. mecánica cuántica para$\xi>0$, la ecuación (4) solo se mantiene en promedio, como se explicó anteriormente.