¿Podemos hacer integrales de trayectoria en teorías de calibre sin fijar un calibre?

Está malinterpretando lo que es una teoría de calibre si cree que no deberíamos deshacernos de la simetría de calibre en algún momento. Una simetría de calibre no es como otras simetrías, no relaciona configuraciones de las variables dinámicas que son físicamente distintas; en cambio, relaciona la configuración de las variables dinámicas que son físicamente indistinguibles . No hay ninguna diferencia detectable entre ninguna configuración y su versión de calibre transformado . A diferencia, por ejemplo, de una simetría rotacional en la que un vector que apunta en una dirección es distinto de su versión rotada, en este caso, en realidad no existe una distinción físicamente significativa entre las configuraciones relacionadas por las simetrías de calibre. Véase también, por ejemplo,esta pregunta , esta pregunta , esta pregunta y más.

Las simetrías de calibre reflejan la redundancia en las variables que hemos elegido para describir el sistema, son completamente características de una elección teórica particular y no propiedades inherentes del sistema físico bajo consideración, como por ejemplo, la simetría rotacional. Por lo tanto, no hay necesidad de tratar de preservar esta simetría; si se pierde en una descripción equivalente pero más conveniente del sistema, no debemos dudar. Es un hecho curioso que con bastante frecuencia la descripción teórica de calibre resulta ser la más conveniente.

Excepto, por supuesto, cuando queremos hacer cosas como la integral de trayectoria. Tomar la ingenua integral de trayectoria sobre una acción con simetría de calibre que no ha sido fijada es manifiestamente absurdo físicamente: estás integrando sobre un espacio de variables dinámicas, donde cada configuración de ellas tiene infinitas configuraciones diferentes que describen exactamente el mismo estado del exactamente el mismo sistema físico , y se está integrando sobre todos ellos. ¿Qué se supone que es esto? Ciertamente no es la integral sobre todos los caminos físicos posibles, los está contando en exceso y no tienes forma de controlar la manera en que lo hace.

La integral de trayectoria física natural es una que se integra sobre cada configuración físicamente distinta una vez. Cuando arreglamos completamente un indicador, esto es exactamente lo que hace la fijación de indicadores: de todas las configuraciones equivalentes posibles, la condición de indicador elige un y solo un representante, y luego deseamos integrarnos sobre este espacio de representantes, como es el espacio de configuraciones físicamente distintas. Desafortunadamente, las ambigüedades de Gribov significan que, por lo general, no podemos hacer eso en todo el espacio de configuraciones de campo y es posible que nos quedemos atascados definiendo la integral de trayectoria solo en un subconjunto de configuraciones físicas, la llamada región de Gribov.

Por lo tanto, no es razonable esperar que haya una integral de trayectoria sin fijar un calibre. La integral de trayectoria, por su propio propósito, debe integrarse en el espacio de todas las configuraciones físicamente distintas, y la forma de lograrlo en una teoría de calibre es algún tipo de fijación de calibre, no hay forma de evadir este hecho.

A día de hoy, nadie sabe cómo cuantificar canónicamente una teoría clásica con simetrías de norma. El enfoque estándar (algoritmo de Dirac) donde uno reemplaza los corchetes canónicos por (anti) conmutadores no tiene sentido si la forma simpléctica es degenerada. Ver Quantization of Gauge Systems , de Marc Henneaux & Claudio Teitelboim para una discusión completa de esto. En la práctica, para formular una teoría consistente en el formalismo canónico, primero se deben eliminar las simetrías de calibre, ya sea convirtiéndolas en restricciones (de segunda clase) o mediante métodos más elaborados.

Un segundo enfoque más directo es seguir la cuantificación de Feynman, donde postulamos que los elementos de la matriz se pueden calcular a partir de una integral funcional,

$$A\sim\int a(\varphi)\ \mathrm e^{iS[\varphi]}\ \mathrm d\varphi$$

Los intentos de formalizar la integral anterior con tanta generalidad como sea necesario han fallado. Un posible enfoque, para discretizar el espacio de las configuraciones de campo, tiene dos resultados posibles: la formulación reticular rompe la invariancia de calibre (en cuyo caso hemos fijado esencialmente el calibre por medio de la regularización), o no lo hace (en cuyo caso la integral diverge, ya que estamos integrando sobre$\mathbb R^n$una función que no decae en algunas direcciones). En cualquier caso, vemos que una implementación ingenua del enfoque de Feynman tampoco puede funcionar.

Incluso en el sentido más pragmático, la teoría cuántica está mal definida en presencia de simetrías de calibre: si nos ponemos de acuerdo para eludir todas las manipulaciones formales y definimos la teoría a través de sus reglas de Feynman (formalmente hablando, a través de la fórmula de Hori ),

$$Z[J]\sim \mathrm e^{iS_\mathrm{int}[\delta]}\mathrm e^{-\frac i2 J\cdot \Delta\cdot J}$$ dónde $\Delta$es la inversa de la parte cuadrática del Lagrangiano, el programa falla, porque $$\mathcal L_0\equiv\frac 14 F^2$$ no es invertible.

Ninguno de estos enfoques parece funcionar. El problema se remonta a las representaciones del Grupo Poincaré. Uno puede mostrar, usando las propiedades del grupo de Poincaré pero nada sobre lagrangianos o integrales de trayectoria, que el propagador de un campo vectorial arbitrario es

$$\Delta(p)=\frac{-1+pp^t/m^2}{p^2-m^2}-\frac{pp^t/m^2}{p^2-\xi m^2}$$ dónde $m$es la masa del giro $j=1$partículas creadas por el campo vectorial, y $\xi\equiv m^2/m_L^2$, dónde $m_L$es la masa del giro $j=0$partículas creadas por el campo vectorial.

Es fácil comprobar que los límites$\xi\to\infty$y$m\to 0$ambos están bien definidos por separado, pero no se pueden tomar ambos límites al mismo tiempo. Esto significa que no puede tener, al mismo tiempo, un campo vectorial que crea un espín sin masa$j=1$partículas y sin estados longitudinales. Así que debes

• usan partículas masivas, como en el Proca Lagrangiano,
• aceptar que puede haber estados normativos negativos, como en$R_\xi$QED,
• o que el campo que crea partículas no es un vector, como en QED en el calibre de Coulomb.

En el primer caso el término$\frac 12 m^2 A^2$, y en el segundo caso el término$\frac 12\xi^{-1}(\partial\cdot A)^2$, rompe la invariancia de norma del Lagrangiano. En el tercer caso, el calibre está fijado por una restricción. En ninguno de estos casos el calibre lagrangiano es invariante.

En la teoría de calibre de red, en una red finita, el volumen$vol(\mathcal{G})$del grupo de transformaciones de grupo es finito, ya que$\mathcal{G}$es un producto finito de copias del grupo calibre$G$. la integral$\int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$sobre el espacio de conexiones de celosía también es finito. En consecuencia, uno puede calcular los valores esperados sin hacer ningún ajuste de calibre, simplemente calculando

$$\frac{1}{vol(\mathcal{G})} \int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$$ que es igual a $\langle \mathcal{O} \rangle = \int_{\mathcal{F}/\mathcal{G}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$, siempre que el observable $\mathcal{O}$es calibre-invariante.

La fijación de medidores es conveniente desde el punto de vista computacional, especialmente para coincidir con la teoría de perturbaciones de corta distancia, pero no es realmente necesaria.