¿Cómo ayudan los fantasmas de Faddeev-Popov (FP) a las integrales de trayectoria?

Los fantasmas no están tanto insertados, como surgen naturalmente. La integral de trayectoria de una teoría de calibre definida ingenuamente se integrará en todos los campos, incluidos los relacionados por una simetría de calibre, que la teoría considera equivalentes.

El procedimiento de Faddeev-Popov proporciona un medio para dividir nuestra integración entre configuraciones físicamente distintas y aquellas sobre órbitas de calibre. Considere el caso de la teoría de calibre no abeliana, con,

$$\int \mathcal D[A] \exp \left[i \int d^4x \left( -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2\right) \right].$$

Para integrar solo sobre configuraciones físicamente distintas, necesitamos restringir la integral mediante un procedimiento de fijación de calibre,$G(A) = 0$en general. Arreglar$G(A) = 0$, podemos usar una función delta, pero para hacerlo, debemos tener en cuenta el factor jacobiano apropiado, por lo que la identidad es,

$$1= \int D[\alpha(x)] \delta(G(A^\alpha)) \det \frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta \alpha}$$

dónde$A^\alpha$es el campo transformado, es decir,$(A^\alpha)^a_\mu = A^a_\mu + g^{-1}D_\mu \alpha^a$. Entonces tenemos la integral de trayectoria,

$$\int \mathcal D[A] \, e^{iS[A]} = \left(\int \mathcal D[\alpha(x)] \right) \int \mathcal D[A] e^{iS[A]} \delta(G(A))\det \frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta \alpha}.$$

Esencialmente, lo factorizamos en integraciones sobre las órbitas de calibre y soluciones físicamente distintas. Ahora, por un$n \times n$matriz,$M$, podemos expresar el determinante como una integral de Grassmann, a saber,

$$\int e^{-\theta^T M \eta} d\theta d\eta = \det M$$

donde tenemos vectores de variables de Grassmann,$\theta$y$\eta$. Volviendo a la integral de trayectoria, el determinante es el determinante de un operador diferencial, por lo que usamos una fórmula análoga para calcularlo. Entonces interpretamos el análogo$\theta$y$\eta$como campos, o fantasmas.

Para decirlo de otra manera, esencialmente introdujimos variables ficticias para expresar el determinante como una integral, y resulta que esta integral, cuando se incluye, tiene la misma forma que un Lagrangiano para estas variables, por lo que podemos interpretarlas como campos.

En pocas palabras, el determinante de Faddeev-Popov (FP) (y su formulación integral a través de variables fantasma de FP ) puede verse como un factor de compensación en la integral de trayectoria $Z$para asegurar que la integral de trayectoria$Z$no depende de la elección de la condición de fijación del manómetro . Ver también esta publicación de Phys.SE.

Para una teoría de calibre simple (como, por ejemplo, QED), no es necesario introducir fantasmas de FP. Sin embargo, para teorías de calibre más complicadas, resulta conveniente introducir fantasmas de FP explícitamente y posiblemente codificar la simetría de calibre en una formulación BRST (como, por ejemplo, la formulación de Batalin-Vilkovisky (BV) ).

De hecho, la acción$S$puede, para una teoría de calibre no trivial, depender en principio de manera no cuadrática de los fantasmas de FP, de modo que los términos de acción de FP no tengan una interpretación simple a través de un determinante.

En general, la formulación BV se puede usar para proporcionar una prueba formal de que la integral de trayectoria de calibre fijo$Z$no depende de la elección del calibre.