Pregunta sobre el método Faddeev-Popov para la fijación de calibres

La integral de trayectoria y los observables son independientes.$^1$de la condición de fijación del indicador. Tal vez un ejemplo de juguete simple esté en orden:

• Ejemplo de juguete: imagina una acción$S_0$eso no depende de la variable$x$. En otras palabras,$x$es una variable de calibre. Dejar$f(x)\approx 0$ser una condición de fijación del calibre. Aquí la función de fijación de calibre$f$se supone que pertenece a la clase de funciones diferenciables monótonamente crecientes con un cero simple.

  Considere la acción completa de calibre fijo

  $$S~=~S_0 + S_{FP} + S_{gf}, \qquad S_{FP} ~=~ c f^{\prime}(x) \bar{c}, \qquad S_{gf} ~=~ \lambda f(x), \tag{1}$$ dónde$c$y$\bar{c}$son un Grassmann-odd Faddeev-Popov fantasma y antifantasma, respectivamente, y donde$\lambda$es un multiplicador de Lagrange.

  La integral del camino del juguete

  $$\begin{align} Z_f&~=~ \int \! dx ~d\bar{c}~dc~d\lambda~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S \right) \cr &~\stackrel{(1)}{=}~\int \! dx ~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)~\cdot~\frac{i}{\hbar}f^{\prime}(x)~\cdot~2\pi\hbar\delta(f(x))\cr &~=~\int \! dx ~\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)~2\pi i~\delta(x-x_0)\cr &~=~ 2\pi i\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_0 \right)\end{align}\tag{2}$$ no depende de la función de fijación del calibre$f$dentro de la clase antes mencionada! En la ec. (2) usamos la integral de Berezin$\int dc~c=1$y la representación de Fourier de la distribución delta de Dirac .

  Consulte, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE para ver otro ejemplo de juguete simple.

Para una discusión más sistemática de la independencia de la elección de fijación de calibre desde una perspectiva BRST, consulte, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

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$^1$En esta respuesta, nos saltamos varios detalles técnicos, como, por ejemplo, obstrucciones topológicas, etc.

La lógica en su respuesta establece el procedimiento Faddeev-Popov un poco al revés. Debería ser:

• Dado que la integral de trayectoria se integra sobre distintos estados físicos, la teoría se define mediante una integral de trayectoria sobre configuraciones de calibre no equivalente del campo de calibre,$Z = \int \mathcal{D}A' e^{iS}$
• Esta integral es difícil, porque el espacio de configuraciones de calibre no equivalente es complicado.
• En el procedimiento de Faddeev-Popov, "multiplicamos por 1" para convertir la integral de trayectoria en$Z = \int \mathcal{D} A\, e^{iS'}$, donde la medida$\mathcal{D} A$se comporta formalmente como el de un campo sin calibre, integrándose de forma redundante sobre configuraciones equivalentes a calibre y, por lo tanto, es más fácil de manejar.
• En el proceso, la acción recoge términos adicionales de "fantasma" y "fijación de indicadores",$S' = S + S_{\text{gf}} + S_{\text{gh}}$.

No importa cuál sea la condición de fijación del indicador, en realidad estamos calculando exactamente lo mismo desde el principio, por lo que el resultado tiene que ser independiente del procedimiento de fijación del indicador.

Sin embargo, es comprensible cierta confusión porque, en una primera clase QFT, la lógica a menudo no está presente. Por lo general, uno notaría que la cuantización canónica no funciona para el QED Lagrangian, luego agregaría artificialmente un término de "fijación de calibre" al Lagrangian y continuaría sin comentarios. En este caso, sí debe justificarse que los resultados son independientes de la fijación del calibre. El procedimiento Faddeev-Popov es precisamente esa justificación.