Sobre el cambio de base en la mecánica cuántica [cerrado]

Digamos que tengo un estado cuántico$|\psi\rangle$escrito como una combinación lineal de algunos vectores base$\{ | \varphi \rangle _i \}_{i \in \mathbb N}$de$\scr H$.

gol _ Volver a escribir$|\psi\rangle$en términos de otra base$\{ | \phi \rangle _i \}_{i \in \mathbb N}$de$\scr H$.

Puedo aplicar un operador unitario$U$, de más maneras.

1. Transformación pasiva (también conocido como mantener fijo el estado y transformar la base).

$\displaystyle | \psi_\varphi \rangle = \sum_i f_i |\varphi_i\rangle \longrightarrow \displaystyle | \psi_\phi \rangle = \sum_i g_i |\phi_i\rangle$, en la base transformada$|\phi_i\rangle = U | \varphi_i \rangle$. El problema es encontrar estos nuevos coeficientes. El$j$-ésimo coeficiente$g_j$se puede encontrar proyectando el estado$|\psi_\phi \rangle$sobre su$j$-ésimo componente$|\phi_j\rangle$:

$\displaystyle \langle \phi_j | \psi\rangle = \langle \phi_j |\sum_i g_i |\phi_i\rangle = \sum_i g_i \delta_{ji} = g_j$

Repitamos el mismo procedimiento con$|\psi_\varphi \rangle$, ya que las dos formulaciones deben ser iguales:

$\displaystyle \langle \phi_j | \psi\rangle = \langle \phi_j |\sum_i f_i |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \phi_j |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_j | U^\dagger |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_i | U |\varphi_j\rangle^* = \sum_i f_i U^{*}_{ij}$

Eso significa:

2. Transformación activa (también conocida como mantener fija la base y transformar el estado).

$\displaystyle | \psi \rangle = \sum_i f_i |\varphi_i\rangle \longrightarrow \displaystyle | U \psi \rangle = \sum_i h_i |\varphi_i\rangle$, en el estado transformado$U | \psi \rangle$.

Como en 1., el$j$-ésimo coeficiente$h_j$se puede encontrar proyectando el estado$|U \psi⟩$sobre su j-ésima componente$|\varphi_j⟩$:

$\displaystyle ⟨\varphi_j|Uψ⟩=⟨\varphi_j|\sum_i h_i|\varphi_i⟩=\sum_ih_i\delta_{ji}=h_j$

Por otro lado:

$\displaystyle \langle \varphi_j | U \psi\rangle = \langle \varphi_j |\sum_i f_i U |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_j | U |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i U_{ji}$

Por lo tanto, concluimos:

problema _$U_{ji} = U^*_{ij}$medio$U = U^\dagger$, pero$U$se supone que es unitario, no auto-adjunto. Por lo tanto, las dos transformaciones no son equivalentes, aunque deberían serlo. ¿Qué hice mal?

Apéndice . La única manera que encontré para obtener$h_j = g_j$es para intercambiar$U$con$U^\dagger$en la transformación pasiva (1.). Eso significa escribir$U |\phi_i\rangle =| \varphi_i \rangle$en lugar de$|\phi_i\rangle = U | \varphi_i \rangle$, pero eso es un poco incoherente. empiezo con la base$\{| \varphi_i \rangle\}$, así que debería aplicar$U$a lo que empiezo.

Solución _ En realidad, la fórmula de cambio de base prescribe exactamente lo contrario. Citando Wikipedia:

Tal conversión resulta de la fórmula de cambio de base que expresa las coordenadas relativas a una base en términos de coordenadas relativas a la otra base. Usando matrices, esta fórmula se puede escribir${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$dónde$\operatorname{old}$y$\operatorname{new}$se refieren respectivamente a la primera base definida y a la otra base,${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$son los vectores columna de las coordenadas del mismo vector en las dos bases, y${\displaystyle A}$es la matriz de cambio de base (también llamada matriz de transición), que es la matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas de los vectores de la nueva base sobre la base anterior.

En este contexto$| \varphi _i\rangle$juega el papel de$\operatorname{old}$, así que debería haber escrito$| \varphi _i\rangle = U |\phi_i \rangle$En 1.).

Lo siento por mi error. Gracias a todos.