¿Podemos axiomatizar un campo a partir de las operaciones binarias y solo axiomas “ecuacionales”?

Los axiomas de campo habituales incluyen la existencia de identidades e inversas (aditivas y multiplicativas). ¿Hay un conjunto de axiomas de campo donde todos los axiomas son puramente ecuacionales (ver más abajo para lo que quiero decir)?

El artículo de Wikipedia sobre campos contenía (y aún contiene, ligeramente reescrito) una sección intrigante sobre "Axiomatizaciones alternativas":

Debido a las relaciones entre las operaciones, uno puede alternativamente axiomatizar un campo suponiendo explícitamente que hay cuatro operaciones binarias (sumar, restar, multiplicar, dividir) con axiomas que las relacionen...

Esto es algo que me interesa y me pregunto si es cierto: ¿puedo ver un ejemplo de tal conjunto de axiomas? ¿O demostrar que uno no existe?

Específicamente (porque cualquier cosa de la que esté hablando Wikipedia puede resultar no ser lo que quiero), estoy pensando en una definición como la siguiente: un campo es un conjunto F junto con cuatro operaciones ( + , − , × , ÷ ) satisfaciendo los siguientes axiomas (aquí a , b , C , d denota cualquier elemento de F ):

a + b = b + a a + ( b + C ) = ( a + b ) + C a + ( b − C ) = ( a + b ) − C a − ( b − C ) = ( a − b ) + C a + ( b − b ) = a (¿Quizás necesitamos algo como esto?) a × b = b × a …
donde cada axioma es simplemente una ecuación (o una regla de reescritura de términos: si tenemos una expresión de la forma de la izquierda, entonces podemos transformarla en la de la derecha, tal vez hacer estas transformaciones hasta obtener una forma canónica) , sin axiomas de la forma “existen…” (como asumir 0 o 1 o inversos aditivos o multiplicativos). Si tal sistema no da como resultado un campo, ¿qué falta?

(Estoy tratando de ver si, comenzando con cuatro operaciones arbitrarias definidas en un conjunto S e introduciendo restricciones ecuacionales en las operaciones, como conmutatividad, asociatividad, etc., si finalmente podemos llegar a un estado en el que sepamos que estas son todas las restricciones. Sé que esta axiomatización puede parecer extraña, pero existen algunas extrañas como la axiomatización de los reales de Tarski ).

Tenga en cuenta que la división no es una operación binaria en un campo, ya que no está definida si la segunda entrada es 0 . Aún puede intentar axiomatizar campos usando una versión generalizada de división (que, digamos, siempre genera 0 cuando divides por 0 ).
No es lo que estás preguntando, pero nunca me gustó la cláusula estándar que 1 necesita no ser igual 0 . Resulta que en lugar de eso, solo puede requerir eso F tienen al menos dos elementos y eso implica (con los otros axiomas) que 1 ≠ 0 . O puede requerir eso + y × operaciones distintas (lo que significa que hay al menos un par tal que a + b ≠ a × b ). Eso nuevamente implica (con los otros axiomas) que 1 ≠ 0 .
@alex.jordan ¡Es bueno saberlo! Y eso me recuerda: otra cosa genial es que no necesitamos exigir la conmutatividad de la suma: de ( 1 + X ) ( 1 + y ) = ( 1 + y ) ( 1 + X ) y la ley distributiva, conmutatividad de la multiplicación, etc., podemos calcular X + y = y + X . (Tal vez necesite que los inversos aditivos sean tanto a la izquierda como a la derecha; no lo recuerde).

Respuestas (2)

No, y más generalmente no hay axiomatización de campos usando cualquier número de operaciones y solo axiomas ecuacionales. Si existiera tal axiomatización, entonces cualquier producto de dos campos tendría una estructura de campo (simplemente use las operaciones en cada coordenada por separado). Pero, por ejemplo, no hay estructura de campo en el conjunto subyacente del producto F 2 × F 3 .

Gracias, tal vez debería haber pensado más en la pregunta: como división por 0 es lo que está causando el problema aquí, ¿qué pasa con un anillo? ¿Podemos conseguir uno que comience con solo ( + , − , × ) y algunas ecuaciones?
Puedes axiomatizar anillos con solo ecuaciones. Solo tienes que incluir 0 , 1 como operaciones nulas y − como una operación unaria, por lo que puedes enunciar los axiomas sobre unidades e inversas sin decir "existe"...
No puedes hacerlo sin símbolos para 0 y 1 , aunque. Por ejemplo, si sus únicas operaciones son + , − , y × , entonces el conjunto vacío (con la operación binaria única en él) satisfará automáticamente todos sus axiomas, pero el conjunto vacío no es un anillo.
Incluso si descarta el álgebra vacía, todavía está en problemas (tome los números pares), al menos si por "anillo" quiere decir "anillo unital".
¿No necesitas una forma de garantizar que 0 ≠ 1 ?
@YuvalFilmus No para un ring: en un ring es posible que 0 = 1 (por supuesto, eso solo sucede cuando el anillo es trivial).

¡Esta es una gran pregunta! La respuesta es no, los campos no pueden ser tan axiomatizados.

La observación clave es que las ecuaciones se conservan por productos : si A , B son estructuras que satisfacen algún conjunto de ecuaciones, entonces A × B también satisface esas ecuaciones. Pero el producto de dos campos nunca es un campo.

Por el contrario, es fácil comprobar que los anillos son axiomatizables mediante ecuaciones (también lo son los grupos, los monoides y muchas otras clases interesantes de estructuras). ∗

Las clases de estructuras que se pueden axiomatizar mediante ecuaciones se denominan (quizás confusamente) variedades , y su estudio forma parte del álgebra universal . Permítanme terminar mencionando uno de los teoremas fundamentales del álgebra universal:

Teorema HSP : Sea V ser una colección (no vacía) de álgebras (no vacías) (es decir, estructuras en algún lenguaje que contienen solo símbolos de función) que se cierra bajo isomorfismo (es decir, A ≅ B , A ∈ V ⟹ B ∈ V ) . Entonces V es una variedad si y solo si V se cierra bajo subestructuras, imágenes homomórficas y productos cartesianos arbitrarios.

Una dirección del teorema es relativamente fácil: mostrar que los productos, las subestructuras y las imágenes homomórficas conservan las ecuaciones. La otra dirección es más interesante. Más o menos, suponiendo V es cerrado bajo H, S y P (de ahí el nombre del teorema) y A es un álgebra que satisface cada ecuación que es verdadera para cada elemento de V , queremos mostrar A ∈ V . Usamos el cierre bajo productos para construir un álgebra "libre" muy grande (análoga a un grupo libre) en V , y luego mostrar que A es la imagen homomórfica de una subestructura de esta álgebra.

(Tenga en cuenta que hay un tema más amplio aquí: ¿qué tipo de oraciones de primer orden se conservan mediante qué tipo de operaciones algebraicas? Puede encontrar algunos detalles sobre esto en los libros de teoría de modelos de Hodges).

∗ En realidad, aquí hay una sutileza importante: ¡ el idioma importa ! Piensa en grupos. Si tenemos un símbolo para el elemento de identidad y un símbolo para la operación inversa, así como un símbolo para la operación de grupo, entonces los axiomas de grupo usuales son todos ecuacionales. Sin embargo, si no tenemos un símbolo para estos, entonces necesitamos axiomas más complicados (en particular, necesitamos decir "existe algún elemento tal que..." que no es ecuacional).

De hecho, la clase de grupos en el lenguaje que contiene solo la operación de grupo no es una variedad. Esto se sigue del hecho de que las subestructuras conservan ecuaciones: toda ecuación verdadera en Z = ( Z ; + ) también es cierto en norte = ( norte ; + ) , por lo que cualquier variedad que contenga el primero también contiene el segundo. El punto es que un lenguaje más expresivo permite que las ecuaciones digan más.

¡Gracias por la referencia a todo un tema de estudio! El álgebra universal y las variedades parecen muy relevantes e interesantes.
En realidad, lo que estaba tratando de hacer era algo como esto: si empiezo con un conjunto finito \{a,b,c,d,\puntos} (representando un subconjunto de los números reales, digamos), y considere todas las "expresiones" posibles formadas a partir de ellos como a + b ( C − d ) , y reducir estas expresiones a clases de equivalencia según reglas conocidas (p. ej. a + b ( C − d ) = ( C − d ) b + a ), cuántas (y qué) ecuaciones necesito para saber que he "cubierto todo", y las expresiones no equivalentes realmente lo son (digamos en el sentido de que pueden tomar valores distintos para al menos algunos valores de a , b , C , d )? ¿Ayuda el álgebra universal con este tipo de cosas?
@ShreevatsaR Sí, esa es una de las cosas que estudia el álgebra universal: cuántas ecuaciones se necesitan para describir completamente una situación dada (estoy expresando esto vagamente ya que lo que ha descrito es solo una instancia de este tipo de pregunta).
Creo que vale la pena señalar que las clases de estructuras axiomatizadas por ecuaciones se definen primero como "clases ecuacionales", mientras que las clases cerradas bajo imágenes, subestructuras y productos homomórficos se denominan "variedades". El teorema de Birkhoff, que dice que las clases y variedades de ecuaciones son una y la misma, es, en mi opinión, el primer resultado no trivial del álgebra universal.
¿Podemos axiomatizar un campo a partir de las operaciones binarias y solo axiomas “ecuacionales”?
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