Aclarar sobre el teorema de Birkhoff (en álgebra universal)

En clase dijimos que, como consecuencia del teorema de Birkhoff, la teoría de campos no es axiomatizable sólo por ecuaciones. En particular, vimos que el producto de dos campos en general es solo un anillo. Sin embargo, no entiendo por qué si usamos un lenguaje con$(+,\cdot,-,\frac {1}{}, 1,0)$, dónde$+$y$\cdot$son las operaciones binarias de suma y producto,$-$y$\frac 1 {}$son las operaciones unarias que dan las inversas, y$1,0$son las dos constantes habituales. Me parece que en este lenguaje la teoría de campos es axiomatizable añadiendo a los axiomas de un anillo (que son todas ecuaciones) el axioma$\frac 1 x \cdot x=1$, eso también es una ecuación. Probablemente me estoy perdiendo alguna hipótesis sobre el lenguaje en el teorema de Birkhoff, pero no veo ninguna de ellas. Gracias por cualquier aclaración