La métrica natural de un espacio de fases y el exponente de Lyapunov

Eichhorn, Linz y Hänggi demostraron en 2000 que los valores numéricos de los exponentes de Lyapunov son invariantes bajo cualquier transformada de variable invertible. Esto es solo una reformulación del hecho de que son invariantes métricos, porque los autores suponen la norma$|\cdot|$ser una norma arbitraria en las coordenadas dadas, solo sus propiedades básicas, como la linealidad, son suficientes.

Para obtener algo de intuición para esto, los exponentes de Lyapunov están vinculados con la dimensión de Haussdorf o fractal de la trayectoria. Aunque la dimensión de Hausdorff se define en un espacio métrico, tenemos la intuición de que una dimensión fractal es en realidad más una propiedad de estructura diferencial que una noción específica de longitud/superficie/volumen. La métrica es solo un identificador para llegar a la dimensión fractal, pero su naturaleza no es métrica. Podemos entender la adquisición de exponentes de Lyapunov de manera similar: la métrica es solo un identificador y elegimos uno arbitrariamente.

Una segunda forma de obtener una intuición es a través de la definición explícita de los exponentes$\lambda$a través de la variación lineal$\delta x(t)$evolucionado en el tiempo:

$$\lambda = \lim_{t\to \infty} \frac{\log |\delta x(t)|}{t}$$ Supongamos que $\delta x(t) = e^{\mu t}\delta x(0)$. Entonces por la linealidad de la norma tenemos $|\delta x(t)| = e^{\mu t} |\delta x(0)|$y el límite da $$\lambda = \lim_{t \to \infty} (\frac{\mu t}{t} + \frac{\log |\delta x(0)|}{t})$$ El segundo término muere y tenemos $\lambda=\mu$para cualquier lineal definida positiva $|\cdot|$. Es decir, obtienes el mismo número con una norma diferente y, por lo tanto, el exponente de Lyapunov te da algo que está conectado a una "tasa de crecimiento relativa" independiente de la métrica. Hay algunas lagunas en este argumento y están cubiertas por el artículo citado anteriormente.