Integral sobre el producto escalar de la función propia del operador de impulso y el oscilador armónico uno

Question

Integral sobre el producto escalar de la función propia del operador de impulso y el oscilador armónico uno

Física
espacio de hilbert
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

usuario8817

Recientemente me he encontrado con la siguiente expresión:

\begin{matrix} (2) & \sum_{norte} F (norte) \int d pag | ⟨ pag | norte ⟩ |^{2} = 2 π \sum_{norte} F (norte) . \end{matrix}

$\tag 2 \sum_{n}f(n)\int dp~ |\langle p | n\rangle|^{2} = 2\pi \sum_{n}f(n).$ Aquí

| n >

$|n>$ es función propia del oscilador armónico con energía

{mi}_{norte} = ω (norte + \frac{1}{2}),

$E_{n} = \omega \left(n + \frac{1}{2} \right),$

| p >

$|p>$ es función propia del operador de cantidad de movimiento (sin constante de normalización),

| pag >= {mi}^{i pag X},

$|p> = e^{ipx},$

⟨ pag | pag^{'} ⟩ = 2 π d (pag - pag^{'}) .

$\langle p|p{'}\rangle = 2\pi \delta (p - p{'}).$

como probar $(2)$ ?

yuggib

(2 π)^{- 1 / 2} ⟨ p, \cdot ⟩

$(2\pi)^{-1/2}\langle p , \cdot\rangle$ es la transformada de fourier en

L^{2}

$L^2$ .

| n ⟩

$\lvert n\rangle$ tiene la norma uno en

L^{2}

$L^2$ , y la transformada de Fourier es unitaria (es decir, conserva la

L^{2}

$L^2$ norma).

Conde Iblis

|<p|n>|^2 = <n|p><p|n> y la integral sobre p de |p><p| = 2 pi debido a la forma en que normalizaste estos estados, por lo que te queda la norma al cuadrado de |n>, que es 1.

Respuestas (1)

Integral sobre el producto escalar de la función propia del operador de impulso y el oscilador armónico uno

$(2\pi)^{-1/2}\langle p , \cdot\rangle$ es la transformada de fourier en $L^2$ . $\lvert n\rangle$ tiene la norma uno en $L^2$ , y la transformada de Fourier es unitaria (es decir, conserva la $L^2$ norma).
|<p|n>|^2 = <n|p><p|n> y la integral sobre p de |p><p| = 2 pi debido a la forma en que normalizaste estos estados, por lo que te queda la norma al cuadrado de |n>, que es 1.

jonathan gleason · Answer 1

\sum_{norte} F (norte) \int d pag | ⟨ pag | norte ⟩ |^{2} = \sum_{norte} F (norte) \int d pag \int d q ⟨ norte | pag ⟩ ⟨ pag | norte ⟩ = 2 π \sum_{norte} F (norte) ⟨ norte | norte ⟩ = 2 π \cdot \sum_{norte} F (norte),

$\sum _nf(n)\int \mathrm{d}p\, |\left< p|n\right> |^2=\sum _nf(n)\int \mathrm{d}p\int \mathrm{d}q\, \left< n|p\right> \left< p|n\right> =2\pi \sum _nf(n)\left< n|n\right> =2\pi \cdot \sum _nf(n),$ donde usé el hecho de que

\int d pag | pag ⟩ ⟨ pag | = 2 π,

$\int \mathrm{d}p\, \left| p\right> \left< p\right| =2\pi,$ que se sigue de

⟨ pag | q ⟩ = 2 π d (pag - q) .

$\left< p|q\right> =2\pi \delta (p-q).$

Integral sobre el producto escalar de la función propia del operador de impulso y el oscilador armónico uno

usuario8817

yuggib

Conde Iblis

Respuestas (1)

jonathan gleason

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