Peskin & Schroeder Capítulo 3.1 EoM Lorentz Invariante bajo Lorentz Invariante Lagrangiano

En una teoría de campo lagrangiana (clásica), el espacio de configuración$\mathcal C$del sistema es un espacio de configuraciones de campo . Una configuración de campo (o simplemente "campo" para abreviar) generalmente se considera una función$\phi:\mathcal M\to T$dónde$M$es un múltiple y$T$es un conjunto, a menudo una variedad o un espacio vectorial o ambos, denominado espacio objetivo del campo. El espacio de configuración$\mathcal C$se toma entonces como un subconjunto suficientemente suave (cuando se puede definir una noción de suavidad) del conjunto de todos los campos posibles. El lagrangiano es entonces una función$L:\mathcal C\to\mathcal C$;

$$\begin{align} \phi\mapsto L[\phi] \end{align}$$ Es decir, el lagrangiano asigna una configuración de campo particular a otra configuración de campo. A menudo, uno considera una teoría de campo para la cual el lagrangiano puede escribirse como densidad local local, pero esto no es estrictamente necesario. La acción de la teoría se puede definir entonces como la integral de $L[\phi]$encima $M$; $$\begin{align} S[\phi] = \int_M \, d^Dx\,L[\phi](x). \end{align}$$ Nota. Mi terminología y notación aquí son un poco no estándar en algunos contextos. Por ejemplo, en la física relativista (teoría de campos), el Lagrangiano generalmente representará una configuración de campo $\phi$a una función $L[\phi]$del tiempo, y luego esta función del tiempo se integrará para producir la acción. En la práctica, no es difícil traducir entre convenciones.

Entonces se puede definir qué significa que la acción posea simetría. En particular, dado un mapeo$F:\mathcal C\to \mathcal C$de la variedad sobre la que se definen a sí mismas configuraciones de campo, se dice que la acción es invariante bajo$F$proporcionó

$$\begin{align} S[F(\phi)] = S[\phi] \end{align}$$ para todos $\phi\in\mathcal C$. Para las transformaciones "continuas", también se pueden definir nociones de simetría que no impliquen invariancia total, pero mantengamos la discusión simple en este punto.

Ejemplo. Una teoría del juguete común considerada como el primer ejemplo en la mayoría de los textos de teoría relativista de campos es la de un único escalar de Lorentz real, libre y definido en el espacio de Minkowski (usaré la firma métrica$+ - - -$). En este caso, tenemos

$$\begin{align} M = \mathbb R^{3,1}, \qquad T = \mathbb R \end{align}$$ y $\mathcal C$es un espacio de funciones suficientemente suaves $\phi:\mathbb R^{3,1}\to\mathbb R$que satisfacen ciertas condiciones de contorno deseadas. El lagrangiano de tal teoría es $$\begin{align} L[\phi](x) = \mathscr L(\phi(x), \partial_0\phi(x), \dots \partial_3\phi(x)) \end{align}$$ dónde $\mathscr L$es la densidad lagrangiana definida por $$\begin{align} \mathscr L(\phi, \partial_0\phi, \dots, \partial_3\phi) &= \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{align}$$ Dada cualquier transformación de Lorentz $\Lambda$, se puede definir una transformación $F_\Lambda:\mathcal C\to\mathcal C$como sigue: $$\begin{align} F_\Lambda(\phi)(x) = \phi(\Lambda^{-1} x). \end{align}$$ Luego, un breve cálculo muestra que el Lagrangiano es un escalar de Lorentz bajo esta transformación, a saber $$\begin{align} L[F_\Lambda(\phi)](x) = L[\phi](\Lambda^{-1}x). \end{align}$$ De hecho, esto se hace esencialmente en la página 36 de Peskin. De esto se sigue que la acción es invariante bajo $F$; $$\begin{align} S[F_\Lambda(\phi)] = \int_{\mathbb R^{3,1}} d^4x\, L[\phi](\Lambda^{-1}x) = \int_{\mathbb R^{3,1}} d^4x\, L[\phi](x) = S[\phi]. \end{align}$$ desde la medida $d^4 x$es invariante de Lorentz. Nótese, en particular, que el hecho de que el Lagrangiano transformado como un escalar de Lorentz (es decir, preciso de la misma manera que el campo escalar $\phi$se definió transformar), condujo inmediatamente a la invariancia de la acción.

Además, supongamos que$\phi$es una configuración de campo que conduce a una acción estacionaria, entonces también podemos mostrar que un campo transformado por Lorentz conduce a una acción estacionaria utilizando la invariancia de la acción de Lorentz. Para ver esto, recuerde que la derivada variacional en la dirección de una configuración de campo$\eta$se define de la siguiente manera:

$$\begin{align} \delta_\eta S[\phi] = \frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\Big|_{\epsilon=0} \end{align}$$ Ahora, supongamos que $\phi$es un punto estacionario de la acción, es decir que $\delta_\eta S[\phi] = 0$para todo admisible $\eta$, entonces para todo eso $\eta$tenemos $$\begin{align} \delta_{F_\Lambda(\eta)} S[F_\Lambda(\phi)] &= \frac{d}{d\epsilon} S[F_\Lambda(\phi) + \epsilon F_\Lambda(\eta)]\Big|_{\epsilon = 0} \\ &= \frac{d}{d\epsilon} S[F_\Lambda(\phi+\epsilon_\eta)]\Big|_{\epsilon = 0} \\ &= \frac{d}{d\epsilon} S[\phi+\epsilon_\eta]\Big|_{\epsilon = 0} \\ &= 0 \end{align}$$ Ahora configura $\eta = F_\Lambda^{-1}(\xi)$, entonces el cálculo que acabamos de realizar muestra que $$\begin{align} \delta_{\xi} S[F_\Lambda(\phi)] =0. \end{align}$$ para todas las configuraciones de campo admisibles $\xi$. En otras palabras, el escalar transformado de Lorentz es también un punto estacionario de la acción. Tenga en cuenta que esta demostración es válida para cualquier transformación de Lorentz, no solo para aumentos.

Apéndice.

1. Como se señaló en los comentarios, el argumento al final sobre los derivados variacionales depende de la linealidad de$F_\Lambda$. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

   $$\begin{align} F_\Lambda(a\phi+b\psi)(x) &= (a\phi+b\psi)(\Lambda^{-1}x) \\ &= a\phi(\Lambda^{-1}x) + b\psi(\Lambda^{-1}x) \\ &= aF_\Lambda(\phi)(x) + bF_\Lambda(\psi)(x). \end{align}$$

2. Permítanme hacer algunos comentarios sobre el mapeo.$F:\mathcal C\to \mathcal C$; una simetría de la acción. Si existe un mapeo$f_T:T\to T$en el espacio de destino que induce este mapeo, a saber

   $$\begin{align} F(\phi)(x) = f_T(\phi(x)), \end{align}$$ entonces$F$se llama simetría interna . Por otro lado, si hay un mapeo$f_M:M\to M$en el colector base$M$que induce este mapeo, a saber $$\begin{align} F(\phi)(x) = \phi(f_M(x)), \end{align}$$ entonces$F$se denomina simetría de variedad base (o más comúnmente simetría de espacio-tiempo ya que en el contexto de la teoría relativista de campos, la variedad base es un espacio-tiempo como el espacio de Minkowski).

Además, el mapeo$F:\mathcal C \to\mathcal C$en el espacio de configuración de campo es a menudo, como en el ejemplo de campo escalar, una acción de grupo de algún grupo$G$en$\mathcal C$. Esto significa que a cada$g\in G$, asociamos un mapeo$F_g:\mathcal C\to \mathcal C$tal que el mapeo$g\mapsto F_g$es un homomorfismo del grupo$G$. En la práctica, el grupo$G$es a veces un grupo de simetrías que actúa naturalmente sobre la variedad base, y a veces$G$un grupo de simetrías que actúa naturalmente en el espacio de destino (o incluso ambos cuando el$M=T$). En cualquier caso, esta acción de grupo suele obtenerse componiendo una acción de grupo de espacio objetivo$(f_T)_g:T\to T$con una acción de grupo múltiple base$(f_M)_g:M\to M$. Más explícitamente, para cada$g\in G$, podemos definir asignaciones$(F_T)_g:\mathcal C\to \mathcal C$y$(F_M)_g:\mathcal C\to\mathcal C$como sigue:

$$\begin{align} (F_T)_g(\phi)(x) = (f_T)_g(\phi(x)), \qquad (F_M)_g(\phi)(x) = \phi((f_M)_g(x)) \end{align}$$ y luego la acción del grupo completo $F_g:\mathcal C\to\mathcal C$se define por la composición de estos dos; $$\begin{align} F_g = (F_T)_g\circ (F_M)_g \end{align}$$ o más explícitamente $$\begin{align} F_g(\phi)(x) = (f_T)_g(\phi((f_M)_g(x))). \end{align}$$ Ahora, todo esto es un poco abstracto, así que escribamos cuáles serían todos estos objetos para el ejemplo del campo escalar: $$\begin{align} G &= \mathrm{SO}(3,1) \\ g &= \Lambda\\ (f_T)_g(\phi(x)) &= \phi(x) \\ (f_M)_g(x) &= \Lambda^{-1}x \\ (F_T)_g(\phi)(x) &= \phi(x) \\ (F_M)_g(\phi)(x) &= \phi(\Lambda^{-1}x) \\ F_g(\phi)(x) &= \phi(\Lambda^{-1}x) \end{align}$$ Darse cuenta de $f_T$es simplemente el mapeo de identidad en el espacio de destino. Esto es precisamente lo que queremos decir cuando decimos que el campo escalar es un escalar de Lorentz. Por otro lado, para un vector de Lorentz, el espacio objetivo en sí mismo sería el espacio de Minkowski $\mathbb R^{3,1}$, y la acción del grupo espacial objetivo sería $$\begin{align} (f_T)_\Lambda(A(x)) = \Lambda A(x), \end{align}$$ a saber, hay una simetría interna en la que los índices vectoriales en el campo se transforman de manera no trivial. En componentes, que es como verás esto escrito en Peskin, por ejemplo, el lado derecho se escribiría como $\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} A^\mu(x)$.