Integral espacial de Minkowski de Schroeder: preocupaciones sobre las rotaciones de la mecha

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Integral espacial de Minkowski de Schroeder: preocupaciones sobre las rotaciones de la mecha

Física
rotación de mecha
Feynman-diagramas
relatividad especial
teoría cuántica de campos
regularización-dimensional

QuantumEyedea

En el Apéndice de "Una introducción a la teoría cuántica de campos" de Peskin & Schroeder hay una lista de integrales en el espacio de Minkowski. De particular interés para mí es la integral (A.44):

I (Δ) = \int \frac{d^{d} ℓ}{(2 π)^{d}} \frac{1}{(ℓ^{2} - Δ)^{norte}} = \frac{(- 1)^{norte} i}{(4 π)^{d / 2}} \frac{Γ (norte - \frac{d}{2})}{Γ (norte)} {(\frac{1}{Δ})}^{norte - d / 2}

$I(\Delta) = \int \frac{d^{d}\ell}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\ell^{2} - \Delta)^{n}} = \frac{(-1)^{n} i }{(4\pi)^{d/2}} \frac{\Gamma(n-\tfrac{d}{2})}{\Gamma(n)} \left( \frac{1}{\Delta} \right)^{n-d/2}$

$\Delta$ no depende de $\ell$ , y Peskin usa la métrica $(+---)$ . También, $d$ es la dimensión del espacio que estamos viendo, obviamente. Peskin deriva esta integral rotando Wick al espacio euclidiano tal que $\ell^{0} = i \ell^{0}_{\mathrm{E}}$ , y $\ell^{2} = - \ell^{2}_{\mathrm{E}}$ (esto se muestra con más detalle en el Capítulo 6.3).

(Contexto: necesito ver la integral anterior para $n=3$ . Supuestamente esto diverge en $d=4$ , que es lo que estoy viendo)

Tengo dos preguntas sobre esta integral:

Debido a la rotación de Wick utilizada, ¿la integral anterior es exacta o solo funciona algunas veces, o como una aproximación? Siempre pensé que era exacto, pero recientemente tuve una discusión con alguien que dijo que esto no es cierto y que una rotación de Wick no produce necesariamente el resultado exacto. Estoy confundido y me gustaría alguna aclaración sobre esto.
En segundo lugar, Schroeder utiliza el $(+---)$ métrica (también conocida como la métrica incorrecta para los fanáticos de la costa este como yo). Esto significa que $\ell^{2} = (\ell^{0})^2 - ||\boldsymbol{\ell}||^{2}$ . Me pregunto si la integral anterior cambia en su resultado si usamos la métrica $(-+++)$ ? Principalmente, estoy anticipando que un signo menos adicional flotará en algún lugar, ya que ahora tendríamos $\ell^{2} = -(\ell^{0})^2 + ||\boldsymbol{\ell}^{2}||$ .

jamals

Tenga cuidado al usar ecuaciones de P&S ya que las ediciones tienen errores detallados en su sitio. Pasé horas cuestionando un resultado solo para descubrir que se debía a un error en P&S. En este caso, la integral está perfectamente bien.

QuantumEyedea

¡Realmente aprecio los avisos! Nunca supe que P&S tiene un sitio web con errata, tendré que revisar eso

Respuestas (1)

Integral espacial de Minkowski de Schroeder: preocupaciones sobre las rotaciones de la mecha

Tenga cuidado al usar ecuaciones de P&S ya que las ediciones tienen errores detallados en su sitio. Pasé horas cuestionando un resultado solo para descubrir que se debía a un error en P&S. En este caso, la integral está perfectamente bien.
¡Realmente aprecio los avisos! Nunca supe que P&S tiene un sitio web con errata, tendré que revisar eso

qmecanico · Answer 1

La integral euclidiana
$\begin{matrix} (MI) & \begin{aligned} I_{mi} (Δ) := & \int \frac{d^{d} ℓ_{mi}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{(Δ + ℓ_{mi}^{2})^{norte}} \\ \overset{(A .44)}{=} & \frac{1}{(4 π)^{d / 2}} \frac{Γ (norte - \frac{d}{2})}{Γ (norte)} Δ^{\frac{d}{2} - norte} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} I_E(\Delta) ~:=~&\int \! \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\Delta+\ell_E^2)^n}\cr ~\stackrel{(A.44)}{=}&\frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma\left(n-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(n)} \Delta^{\frac{d}{2}-n}\end{align}\tag{E}$ es integrable iff $norte > \frac{d}{2} .$ $n>\frac{d}{2}.$ Véase también el grado superficial de divergencia .
Para $n<\frac{d}{2}$ la integral euclidiana $I_E(\Delta)$ se declara en la regularización dimensional igual a la rhs. de la ec. (E) a través de la continuación analítica .
La integral de Minkowski en el $(\mp,\pm,\ldots,\pm)$ la convención se define a través de la rotación de Wick
$\begin{matrix} (A.43) & ℓ_{METRO}^{0} = i ℓ_{mi}^{0} \end{matrix}$ $\ell_M^0~=~i\ell_E^0 \tag{A.43}$ dado por la integral euclidiana $\begin{matrix} (METRO) & I_{METRO} (Δ) := \int \frac{d^{d} ℓ_{METRO}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{(Δ \pm ℓ_{METRO}^{2})^{norte}} \overset{(mi)}{:=} i I_{mi} (Δ), \end{matrix}$ $I_M(\Delta) ~:=~\int \! \frac{d^d\ell_M}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\Delta\pm\ell_M^2)^n} ~\stackrel{(E)}{:=}~i I_E(\Delta),\tag{M}$ respectivamente.

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qmecanico

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