permutaciones únicas

Es fácil ver que$Y$tiene como máximo$n^2$elementos. Si tienes más de$n^2$ordenado$n$-tuplas, entonces, por el principio del casillero, dos de ellas comparten los mismos dos primeros componentes.

Si siempre puedes lograr$n^2$no me queda claro Sospecho que estoy pasando por alto una construcción simple. De todos modos, por$n=2$como notas podemos lograr 4. Para$n=3$Hay muchas maneras de lograr 9:

$$\{{123,132,213,231,312,321,111,222,333\}}$$ es de una manera, otra es $$\{{112,121,211,223,232,322,331,313,133\}}$$ y otro es $$\{{111,122,133,212,223,231,313,321,332\}}$$

EDITAR: aquí hay una solución para$n=4$:

$$\matrix{1111&1234&1342&1423\cr2222&2143&2431&2314\cr3333&3412&3124&3241\cr4444&4321&4213&4132\cr}$$ Encontré esto usando el campo de 4 elementos, $F=\{{0,1,\alpha,\beta\}}$, y tomando el subespacio bidimensional de $F^4$atravesado por $(1,1,1,1)$y $(0,1,\alpha,\beta)$y luego cambiar el nombre de los elementos de $F$, 1, 2, 3, 4. Esto debería funcionar si $n$es el orden de un campo finito, es decir, si $n$es una potencia principal. Pero tal vez hay una construcción simple que no veo que funcione para todos $n$.

para cualquiera de las dos permutaciones$\sigma, \pi$y para cualquier$i_0 \in \{1...n\}$

si$\forall i \in \{1...n\}-\{i_0\}: \pi(i) = \sigma(i)$entonces$\pi = \sigma$

solo tenemos que demostrar que$\pi(i_0) = \sigma(i_0)$

si$\pi(i_0) \neq \sigma(i_0)$

dejar$j = \pi(i_0)$

y deja$i_1$ser tal que$\sigma(i_1)=j$

$i_1 \neq i_0$porque$\sigma(i_1)=\pi(i_0) \neq \sigma(i_0)$

desde$i_1 \neq i_0$entonces tenemos$\sigma(i_1)=\pi(i_1)$

entonces encontramos la contradicción$\pi(i_0)=\pi(i_1)$porque$\pi$es inyectable

Espero que esto ayude